Question

高中数学一道不等式题目，在线等，谢谢

已知0<a<1,求证1/a+1/(1-a)>=4

Answer 1

证明：左边=1/a+1/(1-a)=（1-a）/[a(1-a)]+a/[a(1-a)]=(1-a+a)/[a(1-a)]=1/[a(1-a)]
又因为0<a<1，所以a(1-a)<={[a+(1-a)]/2}^2=1/4(当且仅当a=1-a，即a=1/2时，等号成立)
所以左边=1/[a(1-a)]>=1/(1/4)=4=右边.
所以原等式成立。

Answer 2

证明：1/a+1/(1-a) =1/a(a-1)=1/[-(a-1/2)^2+1/4]
因为0<a<1，所以－1/2＜(a-1/2)＜1/2 -1/4 ＜ -(a-1/2)^2≤0
所以分母0＜-(a-1/2)^2+1/4≤1/4
所以a=1/2时，1/a+1/(1-a)取最小值1/4
所以原命题得证。1/a+1/(1-a)>=4

Answer 3

左边通分：不等式变形为：
1/a（1-a）>=4
因为 0<a<1
所以即证 a（1-a）<=1/4
即证 a^2-a+1/4>=0（由上面移项）
上式 即 (a-1/2)^2>=0
显然成立 固得证

Answer 4

1/a+1/(1-a)=(1-a+a)/a+(a+1-a)/(1-a)=(1-a)/a+1+a/(1-a)+1=(1-a)/a+a/(1-a)+2>=4

Answer 5

先通分，因为0＜a＜1，所以原式等于1／－a2＋a，分母是二次函数对称轴是1／2，当a＝1／2时，分母有最大值1／4，式子有最小值4，所以原式≧4