Question

已知a,b,c＞0，求证：a³+b³+c³≥1/3（a²+b²+c²）（a+b+c)

Answer 1

【1】
易知：(a-b) ²+(b-c) ²+(c-a) ²≥0.
展开整理可得：
2(a²+b²+c²)≥2ab+2bc+2ca.
∴3(a²+b²+c²)≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca.=(a+b+c) ².
即：3(a²+b²+c²)≥(a+b+c) ².
∵a＞0,b＞0,c＞0. ∴a+b+c＞0.
∴3(a²+b²+c²)²≥(a²+b²+c²)(a+b+c) ²
∴[(a²+b²+c²)²]/(a+b+c) ≥(1/3)(a²+b²+c²)(a+b+c). (①式)
【2】
由题设及“柯西不等式”可知：
(a+b+c)(a³+b³+c³)≥(a²+b²+c²)².
∴a³+b³+c³≥[(a²+b²+c²)²]/(a+b+c). （②式）
【3】
结合上面的①②两个式子，可得：
a³+b³+c³≥(1/3)(a²+b²+c²)(a+b+c).
且等号仅当a=b=c时取得。

Answer 2

3(a^3+b^3+c^3)-(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)
=3(a^3+b^3+c^3)-(a^3+b^3+c^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2)
=2a^3+2b^3+2c^3-a^2b-a^2c-ab^2-b^2c-ac^2-bc^2
=(a^3+b^3-a^2b-ab^2)+(b^3+c^3-bc^2-b^2c)+(c^3+a^3-ca^2-ac^2)
=(a+b)(a^2-2ab+b^2)+(b+c)(b^2+c^2-2bc)+(a+c)(a^2+c^2-2ac)
=(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(a+c)(a-c)^2
≥0
所以
a^3+b^3+c^3>=1/3(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)