Question

空间曲线如何求切线和法平面？

Answer 1

根据空间曲线的表达形式，有以下两种求法：

1.参数曲线形式：分别求x，y，z对参数t的倒数，将该点的值带入，就得到该点的切向量，根据点向式和点法式写出切线和法平面；

2.两平面交线的形式：根据方程组求出z对x和y对x的偏导数，然后写出切向量，再进一步写出切线和法平面。

以一个题目来举例子，如下:

1.以求如下曲线在点(1.1.1)的点的切线及法平面为例，首先我们观察这个曲线的表达式，我们可以看做是两个曲面的交线，这种表达形式称为曲线的一般方程，也称为交面式曲线方程。

2.观察：首先观察曲面的第一个式子，它是一个球面的表达式，而第二个式子是一个空间平面的标准表达式，而点(1.1.1)是这两个平面上的点。

3.先分别求两平面在该点的法向量；我们可以先把曲面的标准方程转化成隐形方程，即分别转化成F（x^2-3x,y^2,z^2）,G(2x,-3y,5z)的形式，那么它们各自的法向量就是图片中的形式。

4.那么知道了它们各自在(1.1.1)的法向量如何求曲线的方向向量呢？实际上曲面的方向向量之积就是我们所要求的切线的方向向量，既是图片所显示的运算结果。

5.从而求出曲线在（1.1.1）的切线方程的点向式方程。如图所示

6.当我们知道点向式方程之后，我们很容易就能求出法平面方程，就是图片中的形式，记得一定要化为最简形式，这种表达形式是曲面的一般方程形式。

扩展资料：

空间曲线(space curves)是经典微分几何的主要研究对象之一，在直观上曲线可看成空间一个自由度的质点运动的轨迹。在三维欧氏空间R3的直角坐标系中，点的运动可表示为x=x(t),y=y(t),z=z(t)，其中t为参数，这个点运动的轨迹就是满足上述方程的点的集合。

空间曲线就是R3中的一个点集，这个点集可由上述参数方程来表示。空间曲线可定义为:数轴上的区间((a,b)到R3中的一一连续的映射r: (a,b)}R3:t}{x(t),y(t),z(t) } ,tE <a,b)，也把该映射的像称为曲线.在R'的直角坐标系中，这个映射可表示为x=x(t),y=y(t),z=z(t), a}t}b，此方程称为曲线的参数方程，t为参数.若;为曲线上点的向径，则此参数方程也可写为向量函数的形式:;一;(t>一{x(t),y(t),z(t)}, tE (a,b)，曲线的方向依参数增加的方向确定正向。