Question

函数f(x)在x=x0处的幂级数展开式为∑anx的n次方,则an=？

Answer 1

由于函数f(x)在x=x0处的幂级数展开式为∑anx的n次方，因此可以将f(x)表示成以下的形式：
f(x) = ∑an(x - x0)^n
其中，an表示幂级数展开式中x的n次方系数。
对于这个问题，我们需要通过求导来得到an的表达式。具体来说，我们将f(x)按照x展开，并对其进行n次求导，然后令x=x0，则有：
f(x) = ∑an(x - x0)^n
f'(x) = ∑n*an(x - x0)^(n-1)
f''(x) = ∑n*(n-1)*an(x - x0)^(n-2)
...
f^n(x) = ∑n!/[(n-k)! * k!] * ak(x - x0)^(n-k)
当x=x0时，上述等式变为：
f(x0) = an*0^0 + 0 + ... + 0
f'(x0) = 1 * a1*0^0 + 0 + ... + 0 = a1
f''(x0) = 2 * 1 * a2*0^0 + 0 + ... + 0 = 2a2
...
f^n(x0) = n! * an
因此，我们可以得到an的表达式为：
an = f^n(x0) / n!
综上所述，函数f(x)在x=x0处的幂级数展开式中，x的n次方系数an等于f(x)在x=x0处的n阶导数与n的阶乘之比。