Question

高中数学（数列）

在数列an中,a1=0,a(n-1)=-an+3^n,其中n=1,2,3...
(1)求数列an的通项公式
(2)求an/a(n+1)的最大值

Answer 1

1.
a(n-1)=-an+3^n
a(n-1)+an=3^n
设[a(n-1)+x3^(n-1)]+[an+x3^n]=0
a(n-1)+an+(x/3+x)3^n=0
x=-3/4
[a(n-1)-(3/4)3^(n-1)]+[an-(3/4)3^n]=0
[an-(3/4)3^n]/[a(n-1)-(3/4)3^(n-1)]=-1
an-(3/4)3^n为首项为a1-(3/4)3^1=-9/4，公比为的等比数列，
an-(3/4)3^n=-(9/4)*(-1)^(n-1)=(9/4)*(-1)^n
an=(9/4)*(-1)^n+(3/4)3^n =(9/4)*[(-1)^n+3^(n-1)]

2.
f(n)=an/a(n+1)
=(9/4)*[(-1)^n+3^(n-1)]/{(9/4)*[(-1)^(n+1)+3^n]}
=[(-1)^n+3^(n-1)]/[(-1)^(n+1)+3^n]
当n=2k-1时
f(n)=[-1+3^(n-1)]/[1+3^n]
f'(n)={3^(n-1)ln3(1+3^n)-[-1+3^(n-1)]3^nln3}/[1+3^n]^2
=[3^(n-1)+3^(2n-1)+3^n-3^(2n-1)]ln3/[1+3^n]^2
=4[3^(n-1)]ln3/[1+3^n]^2＞0
即f(2k-1)递增，
f(2k+1)＞f(2k-1)
当k→∞时，
limf(2k-1)=lim[-1+3^(2k-2)]/[1+3^(2k-1)]
=lim[3^(2k-2)]ln3*2/[3^(2k-1)ln3*2]
=lim[3^(2k-2)]/[3^(2k-1)]
=1/3
0≤f(2k-1)＜1/3

当n=2k时
f(n)=[1+3^(n-1)]/(-1+3^n)
f'(n)={[3^(n-1)ln3(-1+3^n) -[1+3^(n-1)]3^nln3}/ (-1+3^n)^2
={[3^(n-1)(-1+3^n) -[1+3^(n-1)]3^n}ln3/ (-1+3^n)^2
=-[4*3^(n-1)]ln3/ (-1+3^n)^2＜0
即f(2k)递减
f(2k+2)＜f(2k)＜……＜f(2)=a2/a3=[1+3]/(-1+9)=1/2
当k→∞时，
limf(2k)=lim[1+3^(2k-1)]/[-1+3^(2k)]
=lim[3^(2k-1)]ln3*2/[3^(2k)ln3*2]
=lim3^(2k-1)/3^(2k)
=1/3
1/3＜f(2k)≤1/2
综上所述
0≤f(n)≤1/2,f(n)≠1/3
0≤an/a(n+1)≤1/2,an/a(n+1)≠1/3

最大值1/2，最小值0。

Answer 2

!)an=-a(n-1) +3^n
an- 3^(n+1)/4 =-[a(n-1)- 3^n/4]
所以数列{an- 3^(n+1)/4 } 是首项为-9/4 ,公比为 -1 的等比数列。
所以an- 3^(n+1)/4 = -9/4 *(-1)^(n-1) = 9(-1)^n/4
所以 an = 3^(n+1)/4 +9(-1)^n/4
2) a(n+1) =3^(n+2)/4 +9(-1)(n+1)/4
所以 an/a(n+1) <=1/2
当 n=2时,取得等号。

Answer 3

不知效果怎么样

Answer 4

(1)an+a(n-1)=3^n
a2-a1=3^2
a3-a2=3^3
……
an+a(n-1)=3^n
累加得：an+a1=3^2+3^3+……+3^n
an=4.5[3^(n-1)-1]
(2)an/a(n+1)=3^(n-1)-1/3^n-1=1/3-2/(3^(n+1)-3)<=1/3

Answer 5

通式为an={3^(n+1)+3^2(-1)^n}/4
最大值为1/2，我算是这个结果不知道对不对，我只能给你结果，过程比较复杂，你要是着急就留下你的邮箱，我有时间发给你~~

Answer 6

第一问an=-a(n-1) +3^n
an- 3^(n+1)/4 =-[a(n-1)- 3^n/4]
所以数列{an- 3^(n+1)/4 } 是首项为-9/4 ,公比为 -1 的等比数列。
所以an- 3^(n+1)/4 = -9/4 *(-1)^(n-1) = 9(-1)^n/4
所以 an = 3^(n+1)/4 +9(-1)^n/4
第二问 a(n+1) =3^(n+2)/4 +9(-1)(n+1)/4
所以 an/a(n+1) <=1/2
当 n=2时,取得等号。