Question

【数学】一道高中导数题，不会做，那位给讲讲，写下过程。谢谢了

已知f(x)=ax^3+bx^2(a大于b 且a不等于0)的图像在点（2,f(2)）处的切线与x轴平行。
若函数在区间[b,a]上的最大值为a^2-ab,试求a的值

Answer 1

已知f(x)=ax^3+bx^2(a大于b 且a不等于0)的图像在点（2,f(2)）处的切线与x轴平行。
若函数在区间[b,a]上的最大值为a^2-ab,试求a的值
解：令f′(x)=3ax²+2bx=(3ax+2b)x=0，得驻点x₁=-2b/3a，x₂=0.
过(2，f(2))的切线平行于x轴，因此f′(2)=12a+4b=0，即有b=-3a，由于a>b，且a≠0，故可知
a>0，b<0.
由于f〃(x)=6ax+2b，f〃(2)=12a>0，故x=2是极小点；而f〃(0)=2b<0，故x=0是极大点，极大值
f(0)=a²-ab=0，将b=-3a代入得a²+3a²=4a²=0，即有a=0，这与条件矛盾，故最大点应是区间
[b，a]的端点，也就是有f(a)=a⁴+ba²=a²-ab，a³+ba=a-b，用b=-3a代入得a³-3a²=a+3a，
即有a²-3a-4=(a-4)(a+1)=0，故a=4，(另a=-1舍去）。

Answer 2

解：由题意可得，在x=2处的导数为0，即f'=3ax^2+2bx=12a+4b=0,b=-3a,因为a>b,于是a>0,b<0.
f'>0,解得x>2或x<0.x=2为极小值点,x=0为极大值点。可知函数在-2<x<0上单调递减，在x<-2或x>0上单调递增！因为a>0,b<0
（1）当-2<b<0时（因为b=-3a，则0<a<2/3)，函数在区间[b,a]上是先递减再递增，所以最大值可能在x=b或x=a取得，解得答案不符合前面的假设（0<a<2/3）
（2）当b<-2时（a>2/3)，可知函数在[b,a]上先递增再递减，再递增！最大值可能在x=-2或者x=a这取得，解得答案a=4(满足a>2/3）
其中有些答案都不满足题意或者假设已经舍去了，最后只有a=4满足！

Answer 3

在x=0和2处的导数为0，x=0为一极大值点，x=2为一个极小值点。f'(2)=0得到b=-3a。x=0时，极大值为0，另一个为0的点为x=-b/a=3a/a=3。由b=-3a和a>b推出a>0 b<0，当a<3时，x=0时最大，此时没有满足题意的解；a>=3时，x=a时取得最大值a^4+ba^2=a^2-ab，得到a=4。

Answer 4

设函数最大值在x0处取得 则f'(x0)=3ax0^2+2bx0=0,且ax0^3+bx0^2=a^2-ab
又因为图像在x=2出的切线平行x轴说明f(2)=0即8a+4b=0
结合上述三个方程 求解三个未知数X0，a,b
解答出来即可
不仅可以求a,HAI KEYI 求b,x0(最值点）

Answer 5

由题意可得，在x=2处的导数为0，即f'=3ax^2+2bx=12a+4b=0,b=-3a,因为a>b,于是a>0,b<0.
f'>0,解得x>2或x<0.x=2为极小值点,x=0为极大值点。此时[b,a]区间，当b<0,0<a<2,此时max=f(0)=0=a^2-ab,解得a=b无解。当b<0,a>2时max=f(a)=a^4-3a^3=a^2-ab,解得a=-1(舍去)，a=4