求解微分方程y"(t)-4y(t)=sint的一个解

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2023-06-03 · 超过74用户采纳过TA的回答
知道小有建树答主
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要求解微分方程 y"(t) - 4y(t) = sin(t),可以使用常系数线性齐次微分方程的特解方法。
首先,考虑齐次方程 y"(t) - 4y(t) = 0。 特征方程为 r^2 - 4 = 0,解得 r1 = 2,r2 = -2。 因此,齐次方程的通解为 y_h(t) = C1e^(2t) + C2e^(-2t),其中 C1 和 C2 是常数。
接下来,寻找非齐次方程的一个特解。 根据右侧的非齐次项 sin(t) 的形式,我们猜测特解的形式为 y_p(t) = Atcos(t) + Btsin(t),其中 A 和 B 是待定系数。
将猜测的特解代入微分方程,得到:
y_p''(t) - 4y_p(t) = -2Acos(t) - 2Atsin(t) - 4Atcos(t) - 4Btsin(t)
化简后,我们得到:
(-6A - 2Bt)cos(t) + (2A - 6Bt)sin(t) = sin(t)
为使等式成立,需要满足以下条件:
-6A - 2Bt = 0 (1)
2A - 6Bt = 1 (2)
从方程(1)中解得 A = -Bt/3,并代入方程(2)中,得到:
2(-Bt/3) - 6Bt^2/3 = 1
整理后可得 B = -3/5,代入 A = -Bt/3,得到 A = 1/5。
因此,特解为 y_p(t) = (1/5)cos(t) - (3/5)tsin(t)。
最后,将通解和特解相加,即可得到微分方程的一个解:
y(t) = y_h(t) + y_p(t)
= C1e^(2t) + C2e^(-2t) + (1/5)cos(t) - (3/5)tsin(t)
其中,C1 和 C2 是常数,可根据初始条件或边界条件确定具体的解。
sjh5551
高粉答主

2023-05-31 · 醉心答题,欢迎关注
知道大有可为答主
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y"(t)-4y(t)=sint
特征方程 r^2 - 4 = 0, r = 2, -2
设特解 y = Acost + Bsint
则 y'' = -Acost - Bsint, 代入微分方程得 A = 0, B = -1/5
特解 y = (-1/5)sint
微分方程通解 y = C1e^(2x) + C2e^(-2x) - (1/5)sint
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hbc3193034
2023-05-29 · TA获得超过10.5万个赞
知道大有可为答主
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由y''-y=0得其通解为y=c1e^(2t)+c2e^(-2t),
设y=acost+bsint是y''-y=sint①的解,则
y'=-asint+bcost,
y''=-acost-bsint,
代入①,-2acost-2bsint=sint,
比较系数得a=0,b=-1/2,
所以方程①的通解是y=c1e^(2t)+c2e^(-2t)-(1/2)sint.
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tllau38
高粉答主

2023-05-26 · 关注我不会让你失望
知道顶级答主
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y''-4y= sint
The aux. equation
r^2-4=0
r=2
let
yg= (Ax+B)e^t
yp= Ccost +Dsint
yp'=-Csint +Dcost
yp''=-Ccost -Dsint
yp''-4yp= sint
-Ccost -Dsint-4(Ccost +Dsint) =sint
-5Ccost -5Dsint =sint
=> C=0 and D=-1/5
yp=-(1/5)sint
通解
y=yg+yp=(Ax+B)e^t -(1/5)sint
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