Question

2.求抛物面 z=x^2+y^2 在平面 z=9 下方部分的面积.

Answer 1

抛物面 $z=x^2+y^2$ 和平面 $z=9$ 相交于圆锥体。圆锥体的底面是半径为 $r$ 的圆，圆心在平面 $z=0$ 上方，圆锥体的高是 $h=3$。其中平面 $z=0$ 和 $z=9$ 之间的部分是需要计算的面积，即圆锥体的下部分。
要求圆锥体下部分的面积，可以对圆锥体进行投影，把它投影到 $z=0$ 的平面上。投影到 $z=0$ 的圆是一个半径为 $r$ 的圆，投影出的圆心距离圆锥体的顶部高度为 $h_0=\sqrt{9-r^2}$，因此投影面积是一个半径为 $r$，高为 $h_0$ 的圆锥体的底面积。由于这是一个等腰圆锥体，底面角为 $60^\circ$，因此投影面积是 $\frac{1}{3}\pi r^2\sin 60^\circ=\frac{1}{6}\pi r^2$。
所以，抛物面 $z=x^2+y^2$ 在平面 $z=9$ 下方部分的面积为 $\frac{1}{6}\pi r^2$，其中 $r$ 是圆锥体底面圆的半径，满足 $r^2+h_0^2=9$，也就是 $r^2+(9-r^2)=9$，解得 $r=\sqrt{\frac{9}{2}}$。因此，该部分的面积为 $\frac{1}{6}\pi\left(\sqrt{\frac{9}{2}}\right)^2=\frac{3}{4}\pi$。