Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,P是边AB上的一个动点

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,P是边AB上的一个动点（异于A,B两点），过点P分别作边AC,BC的垂线，垂足分别为M,N，设AP为X
（1）在△ABC中，AB等于多少
(2)当X=多少时，矩形PMCN的周长是14
（3）是否存在X的值，使得△PAM的面积，△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明

Answer 1

（1）由勾股定理可得AB²=AC²+BC²=100 AB=10
(2)矩形PMCN的周长=2MP+2PN
=16-0.4x
==>矩形PMCN的周长是14=16-0.4x
==>x=5
(3)S△PAM=0.24x^2
S△PBN=0.24x^2-4.8x+24
S矩形PMCN =2.4x-0.24x^2
假设：S△PAM=S矩形PMCN
==>0.24x^2=2.4x-0.24x^2
==>x=5
S△PAM=S矩形PMCN=6
将x=5代入S△PBN中：
S△PBN=0.24x^2-4.8x+24
=6
==>S△PAM=S矩形PMCN=S△PBN
存在x=5,使得三角形PAM的面积,三角形PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等

Answer 2

解：（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=
82+62=10．

（2）∵PM⊥AC PN⊥BC
∴MP∥BC AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴PMBC=
APAB，
PNAC=
BPAB
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x
∴PM=BC•APAB=
610x=
35x
PN=AC•BPAB=
810(10-x)=
4(10-x)5=8-4x5
∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（35x+8-45x）=14．
∴x=5．

（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴AC∥PN．
∴∠A=∠NPB．
∴△AMP∽△PNB．
∴当P为AB中点，即AP=PB时，△AMP≌△PNB，
此时，S△AMP=S△PNB=12AM•MP=
12×4×3=6，
而矩形PMCN面积=PM•MC=3×4=12，
∴不存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN面积同时相等的x的值．点评：本题考查了相似三角形性质、面积和矩形面积．

Answer 3

（1）利用相似三角形解决
（2）列关于X的方程
（3）假设法

Answer 4

（1）由已知中在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6由勾股定理，可以求出AB的长；
（2）由已知中AP=x，我们可以分别求出MC，PN，MP，CN的长，进而得到矩形PMCN的周长的表达式，结合已知中矩形PMCN的周长是14，构造方程，解方程后即可得到对应x有值．
（3）分别求出△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积的表达式，分别求出使S△PAM=S△PBN的x值和使S△PAM=SPMCN的x值，判断两者是否相等，如果相等则存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等，否则，得到相反的结论．解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．
∴AB=AC2+BC2=10
（2）若AP=x，则MC=PN=45(10-x)，MP=CN=35x
则矩形PMCN的周长为16-25x
又∵矩形PMCN的周长是14
∴x=5
（3）∵AP=x，
∴△PAM的面积S△PAM=625x2，
△PBN的面积S△PBN=625（10-x）2，
矩形PMCN的面积SPMCN=125x（10-x）
若S△PAM=S△PBN，则x2=（10-x）2，解得，x=5；
若S△PAM=SPMCN，则x2=2x（10-x），即x=203，
故不存在x的值，使△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等