如何求对弧长的曲线积分?

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131181薄荷6bb445
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计算步骤如下:

cosαds=dx

cosβds=dy

cosγds=dz

α、β、γ分别为曲线与x轴、y轴、z轴的夹角

则I=∫[L]f(x,y,z)ds=∫[a,b]f(x(t),y(t),z(t))sqrt[(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2]dt

曲线积分简介:

设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ,设构件的质量分布函数为ρ(x,y),设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续,求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρS求得质量;对于密度不均匀的物件,就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;L是积分路径,∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。

定义:

设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界,在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n个小弧段ΔLi的长度为ds,又Mi(x,y)是L上的任一点,作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds,记λ=max(ds) ,若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在,且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关,则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分,记为:∫f(x,y)*ds ;其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分曲线,对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。

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