Question

∫(x+cosx)/[1+(sinx)^2]dx求大大的答案，万分感谢

∫是从-π/2到π/2

Answer 1

解：∫(x+cosx)/[1+(sinx)^2]dx=∫(-π/2,π/2)xdx/(1+sin2x)+∫(-π/2,π/2)cosxdx/(1+sin2x)
=0+2∫(0,π/2)cosxdx/(1+sin2x)
=2∫(0,π/2)d(sinx)/(1+sin2x)
=2[arctan(sinx)]│(0,π/2)
=2(π/4-0)
=π/2。
解析：这种问题看起来很复杂，不知道如何下手，其实很简单，首先观察到它的积分区域对称。
相信我说到这，你应该知道怎么办了吧。
对，其实这个被积函数是奇函数，按照积分的性质，“偶倍奇零”，所以该题积分结果为π/2.
以后遇到这种非常复杂的函数积分，首先就要考虑它的奇偶性。
解答完毕。你懂了么？

Answer 2

解：原式=∫(-π/2,π/2)xdx/(1+sin²x)+∫(-π/2,π/2)cosxdx/(1+sin²x)
=0+2∫(0,π/2)cosxdx/(1+sin²x) (∵第一个积分被积函数是奇函数，第二个积分被积函数是偶函数，且积分区间是对称的。∴第一个积分等于0，第二个积分等于它的半积分区间积分的2倍)
=2∫(0,π/2)d(sinx)/(1+sin²x)
=2[arctan(sinx)]│(0,π/2)
=2(π/4-0)
=π/2。

Answer 3

谁谁说