Question

平面几何题，急求助！！！

如下图，三角形左边为 x=-0.5(1-y), 右边为 x=1-y, 在给定 0<=c<=1 时，求一组最优的（p,Q）,使得p*[0.5(1-p)+Q]-cQ最大。
最后的结果是与C的大小有关的，我想了很久没有通p、Q的关系如何构造，紧急求助啊@@

图片请见 http://iask.sina.com.cn/b/18548565.html
我错了，是使得p*[0.5(1-p)+Q]-2cQ最大

Answer 1

题目的条件是不是还应再增加(P,Q)在三角形内部（包括边界）呀。
由于c<p<1，随着Q的增大，p×*[0.5(1-p)+Q]增大的速度会大于cQ的增大速度，Q应该尽可能地大，原题实际上等效于在三角形右边上找一点(P,Q)，使红色区域的面积最大。
红色区域的面积：(p-c)*[0.5(1-p)+1-p]=(p-c)×(1.5-1.5p)=1.5×(p-c)×(1-p)=1.5×[-p^2+(1+c)p-c]
由于-p^2+(1+c)p-c是一个开口朝下的抛物线，其最大值出现于对称轴的位置，
改写为-[p-0.5×(1+c)]^2+0.25×(1+c)^2-c，对称轴的位置在p=0.5×(1+c)，此时Q等于0.5×(1-c)

追问

提示：给定p时，a(1-P)<=Q<=(1-P)

追答

-0.5(1-P)<=Q<=(1-P)?
很显然，Q越大，红色区域越大，所以取Q=1-P

追问

要注意，Q越大，cQ也越大

追答

但实际上，如果在你图中红色区域标上字母的话，左上为A，右上为B，右下为C，左下为D，CD与纵轴交于S，BC延长与横轴交于N，AD延长与横轴交于M，p的值实际上是BN的长度，[0.5(1-p)+Q]实际上是AB的长度。p*[0.5(1-p)+Q]是矩形ABNM的面积。而cQ是矩形CNOS的面积。虽然Q增大后，cQ会变大，但是很显然，上面提到的这两个面积的差，是随着Q的增大而增大的。

追问

好吧，我错了，题目抄错了，是使p*[0.5(1-p)+Q]-2cQ最大，不好意思呃。。。

追答

改成2CQ后，难度增大不少啊。你第一次追问时，提到的a是什么？

Answer 2

P = 1 - Q
∵ X＝Q时，过（1,1）点的直线上的 Y＝1－Q,
将P取1－Q,这是P点的极限位置，
当P减小时，其减小的面积大于其增加的面积，（这与另一条直线的斜率有关）
∴ P＝1－Q 合符题意。