Question

高中物理 关于 动量的题目求解

一手持自量为m的小球坐在热气球下的吊篮里，气球、吊篮和人的总质量为M 。气球以速度v0 匀速上升，人突然将小球向上抛出，经过是将 t0 后小球返回人手。若人手抛、接小球时相对吊篮的位置不变。试求：
（1）抛出过程中人所做的功W。
（2）抛球者看到小球上升的最大高度h.

Answer 1

由动量定理可得：（M+m）V0=M×V₁+m×V₂ ①
V₁V₂分别为人做功后气球、吊篮和人的总速度与球的速度
热气球开始受力平衡有升力F=（M+m）g
之后气球、吊篮和人的总加速度为a=（F－Mg）÷M=mg÷M
设气球上升距离为S₁，小球上升的最大高度为S₂，小球下降的最大高度为S₃
有S₁=S₂－S₃
再由牛顿第二定理及竖直上抛运动的对称性可得：
S₁=V₁×t0+½×a×t0²=（V₂）²÷2g－½×g×【t0－V₂÷g】²=S₂－S₃
整理可得：V₂－V₁=½×g×t0×（m÷M＋1） ②
综合①②式可得：
V₁=V0－mgt0÷（2M）
V₂=V0+½gt0
则（1）抛出过程中人所做的功：
W=½M（V₁）²＋½m（V₂）²－½（m＋M）V0²=（m＋M）mg²t0²÷8M
（2）设抛球者看到小球上升到最大高度时的时间为t₁
此时抛球者与小球同速有：V₂－gt₁=V₁+mgt₁÷M
得t₁=½t0，同速度为V₂－gt₁=V0
此时气球上升距离为D₁=V₁×t₁＋½×a×t₁²
小球上升距离为D₂=【（V₂）²－（V0）²】÷2g
h=D₂－D₁=【（V₂）²－（V0）²】÷2g－V₁×t₁－½×a×t₁²
=（m＋M）gt0²÷8M
之前问题2没看清，算成了另一个问题的答案，在此做修订如上，抛球者作匀加速运动而小球作匀减速运动，此为一般追击求最大距的问题，故当二者共速时有此情况。

Answer 2

设抛出后人热气球速度是V1,小球速度是V2
(m+M)v0=Mv1+mv2 (1)
人手抛、接小球时相对吊篮的位置不变,也就是人的位移与小球的位移总和为零
v1t0-1/2gt0^2+v2t0-1/2gt0^2=0
(v1+v2)t0=gt0^2
V1=gt0-v2(2)
联立1,2两式得
V2=[Mgt0-(m+M)V0]/(M-m)
W=1/2mV2^2
第二问
h=V2^2/2g

Answer 3

一楼回答有误