Question

如图所示：已知PA与圆O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD//AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且

DE²-EF·EC.
(1)求证：∠P=∠EDF;
(2)求证：CE·EB=EF·EP;
(3)若CE/BE=3/2，DE=6，EF=4，求PA的长。

Answer 1

(1)
DE^2=EF*EC
DE/EF=CE/ED
∠DEF=∠CED
所以△EDF∽△ECD
所以∠EDF=∠ECD
CD//AP
所以∠P=∠ECD
所以∠P=∠EDF

(2)
连结AB
同一圆弧的圆周角相等：∠ABC=∠ADC
△EDF∽△ECD：∠EFD=∠EDC
所以∠ABC=∠EFD，即AB//FD
所以：EF/EB=DE/AE
又因为CD//AP，所以CE/EP=DE/AE
所以CE/EP=EF/EB
即CE*EB=EF*EP

(3)
由DE/EF=CE/ED得：
CE=9
由CE/BE=3/2得：
BE=6
由AE/ED=BE/EF得：
AE=9
由CE*EB=EF*EP得：
EP=27/2
所以PB=PE-EB=15/2
PC=EP+EC=45/2
由PA^2=PB*PC得：
所以PA=15(3^0.5)/2（二分之十五根号三）

Answer 2

第一题用两直线 相交对角想等，先证明大三角与PAE相似，再证明小三角与前面大三角相似；
第二题也就证明EB=ED，通过前面三角形相似即可证明
第三题非常简单，利用前面三角形相似就可以解决！
学习进步！