Question

三角形中位线的证明方法

Answer 1

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线的性质定理是：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．

通过平移，构造平行四边形

根据判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，平移线段就可以得到一个平行四边形 在证明三角形中位线定理时，我们可以运用平移的方法．

如图，设D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，过点C作CF‖AD交DE延长线于点F．

∵∠1=∠2，AE=CE，∠A=∠3，

∴△AED≌△CEF．∴AD=CF．

又AD=BD，．

故四边形BCFD是平行四边形．

Answer 2

设三角形是ABC，AB、BC边上的中点分别是D、E
分别作DP垂直于AC、 EQ垂直于AC，P、Q为垂足
过B作AC的平行线，延长PD、QE分别交平行线于P'、Q'， 即P'Q'平行于AC
得： 角EBQ'=角C 角DBP'=角A
又因为： DP垂直于AC、 EQ垂直于AC ，AB、BC边上的中点分别是D、E
得： DP'垂直于P'Q'、 EQ'垂直于P'Q'、 AB=DB、CE=EB
得： 直角三角形APD与直角三角形BP'D全等、直角三角形CQE与直角三角形BQ'E全等
得： BP'=AP 、BQ'=CQ、 DP=DP'、EQ=EQ' （结论1）
因为：DP垂直于AC、 EQ垂直于AC 得：PP'平行于QQ' 、 DP平行于EQ
又 P'Q'平行于AC 得：PQQ'P'为矩形
得： PP'=QQ' 、P'Q'=AC 结合结论1，得 DP=EQ 因为DP平行于EQ
得： PQED为矩形， DE=PQ、 DE平行于PQ，即DE平行于AC
AC=AP+PQ+QC=PQ+（BP'+BQ'）=2*PQ=2*DE
在三角形ABC中， DE平行于AC，DE=AC*1/2
因此： DE是中位线

Answer 3

设三角形是ABC，AB、BC边上的中点分别是D、E。
过点D作DE'平行于BC交AC于E'，则由平行线平分线段定理，有AD：DB=AE'：E'C，由于D是AB的中点，所以AE'=E'C，即E'与E重合，从而DE平行BC，且DE等于BC的一半。

Answer 4

在平行四边形ABCD中，AE交BC的延长线于E，交CD于F，BC;CE=3;2，CF;FD