Question

如图，在△ABC中，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为D,E,F。 （1）：CA·CE与CB·CF相等吗？为什么？ （

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图打开这个网址有
用初二的方法

Answer 1

（1）在RT△ADB中，DF⊥BC，CD^2=CF*BC,(直角三角形一直角边是其在斜边射影和斜边的比例中项，因RT△CDB∽RT△CFD，CD/BC=CF/CD），
同理，CD^2=CE*AC,
∴CA*CE=CB*CF。
（2），∵DF⊥CF，DE⊥CE，
∴〈CED+〈CFD=180°，
D、E、C、F四点共圆，
根据圆内相交弦定理，EO*OF=CO*OD，
OC/OF=OE/OD。
当然可以进一步去证明，
〈OCF=〈OED（同弧圆周角相等），
〈COF=〈EOD（对顶角相等），
△COF∽△EOD，
∴CO/EO=OF/OD，
但它们四者不是对应成比例，
即不是CO/OD=EO/OF，
我也做过

Answer 2

1)∵CD⊥AB DE⊥ AC
∴易证明 △CDE ∽ △CAD
于是，有：CD² = CE*CA
同理可得：CD² = CF*CB
故：CE*CA = CF*CB
（2）∵CE*CA = CF*CB ∠ACB为公共角
∴△CEF∽△CBA
∴∠CFO = ∠A = ∠EDO 【 根据（1）中的相似三角形，可得】
于是：△ODE ∽△OCF
∴ OD/OC=OE/OF

Answer 3

（1）在RT△ADB中，DF⊥BC，CD^2=CF*BC,(直角三角形一直角边是其在斜边射影和斜边的比例中项，因RT△CDB∽RT△CFD，CD/BC=CF/CD），
同理，CD^2=CE*AC,
∴CA*CE=CB*CF。
(2）（2），∵DF⊥CF，DE⊥CE，
∴〈CED+〈CFD=180°，
D、E、C、F四点共圆，
根据圆内相交弦定理，EO*OF=CO*OD，
OC/OF=OE/OD。
当然可以进一步去证明，
〈OCF=〈OED（同弧圆周角相等），
〈COF=〈EOD（对顶角相等），
△COF∽△EOD，
∴CO/EO=OF/OD，

Answer 4

1)∵CD⊥AB    DE⊥ AC

 

     ∴易证明  △CDE ∽ △CAD

 

     于是，有：CD² = CE*CA

   

     同理可得：CD² = CF*CB

 

故：CE*CA = CF*CB

 

 

（2）∵CE*CA = CF*CB    ∠ACB为公共角

 

          ∴△CEF∽△CBA

 

          ∴∠CFO = ∠A = ∠EDO    【 根据（1）中的相似三角形，可得】

 

          于是：△ODE ∽△OCF

 

        ∴ OD/OF=OE/OC