Question

已知等腰三角形腰上的中线长为根号3，则该三角形的面积的最大值是 .

Answer 1

设等腰三角形的顶角为A,腰长为2a,则cosA=(a^2+4a^2-3)/(2×a×2a)=(5a^2-3)/(4a^2)
S^2=(2×1/2×a×2a×sinA)^2=4a^2(sinA)^2=(-9a^4+30a^2-9)/4
这是关于a^2的二次函数
因根号3/3<a<根号3得1/3<a^2<3
当a^2=5/3时,S取最大值2

Answer 2

你先画一个等腰三角形，并做一个腰的中线。
设一个腰为2x，另一个腰被中线分为x+x。
根据余弦公式，可以求得三角形的顶角a
cosa={3^2-[x^2+(2x)^2]}/(2*x*2x)
另外，根据公式三角形面积=1/2*a*b*sina，sina=√（1-cosa^2）
可以求得大三角形面积=1/2*2x*2x*sina=√(9x^2-9)(9-x^2)/2
根号下面是一个一元二次方程，可以求得x^2=5的时候得到最大值
所以最大面积=6