Question

【数学】问一道高中数学导数题～～～

已知f(x)=ax^3+bx^2(a大于b 且a不等于0)的图像在点（2,f(2)）处的切线与x轴平行。
若函数在区间[b,a]上的最大值为a^2-ab,试求a的值。

答案是这样的：
f(x)=ax^3+bx^2
f‘(x)=3ax^2+2bx
f‘(2)=12a+4b=0 => b= -3a => f(x)=ax^3-3ax^2 且 a>0(因为a>b)
f‘(x)=3ax^2-6ax => 0<x<2时f(x)单减，其它f(x)单增
【令f(x)=0，有 x=0 或 x=3/a】
若0<a<3/a，则f(0)=0=a^2-ab=a^2+3a^2=4a^2 => a=0 舍去
若a>=3/a，即a>根号3，则f(a)=a^4-3a^3=a^2-ab=a^2+3a^2=4a^2 => a=4
综上所述 a=4

我从【令f(x)=0，有 x=0 或 x=3/a】开始看不懂了。为什么要令原函数等于零来进行分类讨论。
请讲解一下，谢谢。

Answer 1

这步开始是为了确定函数的0点位置，方便后面的分类讨论。
先稍微分析下就知道f(x)大致是在0左边时候是负的，0到3/a之间也是负的，2为区间内最小值，3/a以后才为正。
在0<a<3/a时，区间[b,a]的最大值或者在两个端点处，或者在极点，也就是一次导数为0处。
因为a<根号3，那么2就不在区域[b,a]内，所以比较下0，a，b三个点时候的值那个最大就应该为最大值a^2-ab，当然是f(0)=0；
另一个讨论也是类似的，，由图形一看就知道会在最右边a处，然后代入f(a)=a^2-ab，最后验证也满足a=4>根号3，那么就为最终答案了。

Answer 2

[-3a ,a]是最大值的区间。其中求出f(X)的零点是为了分析最大值区间是否落在零点区域内，然后决定在该区间的增减情况，然后求最大值，既得出a的值。。。

Answer 3

f(x)=ax^3-3ax^2=ax^2(x-3)=ax[x(x-3)]
比较g(x)=x(x-3)图象变化, x1<x<x2,g(x)<0, x>x2,g(x)>0
f(x)=0,x1=x2=0,x3=根号3主要是为了求得f(x)>0的区间

Answer 4

因为f(x)在 0<x<2时f(x)单减，其它f(x)单增。而且f(x)在x=0处正好f(0)=0.所以f(x)在（-∞，右交点]的值都是恒小于零。求f(x)=0，就是求f(x)与x轴的交点0和3/a，右交点的左边都是小于零。这样。判断a与右交点的的大小，就可以知道最大值。0<a<3/a，最大值是0；a>=3/a，最大值是f(a).这样要方便一点。
如果不好理解，就画一个草图。过（0，0）点，在（0,2）是减函数，其他是增函数。画出图就好理解了。.大概的图示，上---下---上。转折点在（0,0）（2，f(2)）这里.f(2)<0。