Question

若点O在△ABC内，则有结论S△OBC×向量OA+S△OAC×向量OB+S△OAB×OC=向量0.如何得证？

×（这是个乘号）

Answer 1

不妨设O(0,0)，ABC按逆时针方向，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
（1）S△OAB=0.5(x1y2-x2y1)
证：S△OAB=0.5OA*OB*sin∠AOB=0.5OA*OB*cos∠AOB*tan∠AOB,
而OA*OB*cos∠AOB=向量OA*向量OB=x1x2+y1y2, tan∠AOB=(kOB-kOA)/(1+kOB*kOA)=(y2 /x2-y1 /x1) /(1+y1y2 /x1x2)=(x1y2-x2y1)/(x1x2+y1y2),代入即得。
（2）S△OAB×向量OC=0.5(x1y2-x2y1)*(x3,y3)=0.5(x1x3y2-x2x3y1, y2y3x1-y1y3x2),
同理S△OBC×向量OA =0.5(x2x1y3-x3x1y2, y3y1x2-y2y1x3),
S△OAC×向量OB =0.5(x3x2y1-x1x2y3, y1y2x3-y3y2x1),
相加得S△OBC×向量OA+S△OAC×向量OB+S△OAB×向量OC=(0,0)=向量0，得证。

Answer 2

希望有帮助

追问

这图不清楚啊，你能给我个清晰点的吗？太谢谢你了！

追答

这个清晰

Answer 3

【【注】】
为方便起见，①可设：⊿BOC, ⊿COA, ⊿AOB的面积分别为S1，S2，S3.
②可记：∠BOC=∠1，∠COA=∠2，∠COA=∠3.
③加绝对值为模，即长度，不加绝对值为向量。
【【证明】】
【1】∵∠1+∠2+∠3=360º。
∴∠3=360-（∠1+∠2）。
∴sin∠3=sin[360-(∠1+∠2)]= －sin(∠1+∠2)
=－sin∠1cos∠2－cos∠1sin∠2.
【2】
易知，⊿AOB的面积S3为:
2S3=|OA|×|OB|sin∠3=－|OA|×|OB|sin∠1cos∠2－|OA|×|OB|cos∠1sin∠2.
又由“向量积的定义”，有：
OB•OC=|OB|×|OC|cos∠1, OA•OC=|OA|×|OC|cos∠2.
∴|OB|cos∠1=(OB•OC)/|OC|. |OA|cos∠2=(OA•OC)/|OC|.
∴把这个结果代入上面式子：
－2S3=(|OB|sin∠1) ×[(OA•OC)/|OC|]+(|OA|sin∠2) ×[(OB•OC)/|OC|]
∴－2S3×OC=[(|OB|sin∠1)/|OC|]×(OA•OC) •OC+[(|OA|sin∠2)/|OC|]×(OB•OC) •OC
=[|OB|×|OC|sin∠1] ×OA+[|OA|×|OC|sin∠2] ×OB
=2S1×OA+2S2×OB.
∴2[S1×OA+S2×OB+S3×OC]=0.
∴ S1×OA+S2×OB+S3×OC=0.

追问

你应该写错了
(OA•OC) •OC≠（OC•OC）•OA
这在向量中是不正确的。对吧！