Question

如图所示,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,且AC=BD,E、F分别为AD、BC的中点

如图所示,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,且AC=BD,E、F分别为AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于点M、N.求证：OM=ON。

Answer 1

证明：取CD中点P，连PE、PF，
因为PE为三角形ACD的中位线
所以PE//AC，PE=1/2AC；
同理，PF//BD，PF=1/2BD
又因为AC=BD，
所以PE=PF，角PEF=角OMN=角PFE=角ONM，
因此OM=ON

Answer 2

证明：设Q、R分别是AB、CD中点，连接EQ、QF、FR、RE，
FR与AC交点为S，RE与BD交点为T
因为E、Q、F、R分别是AD、AB、BC、CD中点，
所以QE‖BD且等于1/2BD，FR‖BD且等于1/2BD，
QF‖AC且等于1/2AC，ER‖AC且等于1/2AC
又因为AC=BD，所以EQ=QF=FR=RE 且QE‖RF，QF‖ER
所以EQFR是平行四边行且是菱形
得出：EF为∠QER和∠QFR平分线，∠QEF=∠FER，∠QFE=∠RFE，
因为QF‖ER，所以∠EFQ=∠FER，得∠EFR=∠FER
因为AC‖ER，所以∠BOA=∠BTE，
因为BD‖RF，所以∠FSA=∠BOA,得∠FSA=∠BTE，

在三角形EMT与三角形FNS中，
∠MET=∠FER=∠EFR=∠NFS，
∠ETM=∠ETB=∠ASF=∠NSF，
由三角形内角和，得出∠EMT=∠FNS，
因为∠EMT与∠OMN是对顶角，∠FNS与∠ONM是对顶角，
所以在三角形NOM中∠OMN=∠ONM，
三角形NOM为等腰三角形，得出OM=ON

Answer 3

证明：取CD中点P，连PE、PF，
因为PE为三角形ACD的中位线
所以PE//AC，PE=1/2AC；
同理，PF//BD，PF=1/2BD
又因为AC=BD，
所以PE=PF，角PEF=角OMN=角PFE=角ONM，
因此OM=ON