Question

如何求导数

Answer 1

具体回答如下：

y'=[ln(x+√(1+x²))]'

=1/(x+√(1+x²))  [x+√(1+x²)]'

=1/(x+√(1+x²))  [1+2x/2√(1+x²)]

=1/(x+√(1+x²))  [1+x/√(1+x²)]

=1/(x+√(1+x²)) [1√(1+x²)+x]/√(1+x²)

=1/√(1+x²)

导数的意义：

计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。

只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

Answer 2

如何求函数的导数？

• 理解导数的定义

导数定义为函数在某一点的变化率，即函数值随自变量变化的速率。对于函数y=f(x)，其在x处的导数表示为f'(x)或dy/dx。

• 导数的计算方法

求导是数学中的一个基本操作，主要用于研究函数的变化率和曲线的斜率。一个函数的导数，可以使用微积分中的导数定义或者导数公式。以下是几种常见的导数计算法：

                                   

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• 定义法：f’(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h

常见函数导数公式：

例如：

• 常数函数的导数是0；

• 幂函数f(x)=x^n的导数是f’(x)=n*x^(n-1)；

• 指数函数f(x)=a^x的导数是f’(x)=a^x*lna；

• 对数函数f(x)=lnx的导数是f’(x)=1/x；

• 三角函数和反三角函数的导数也可以用类似的公式表示。

                                   

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• 导数运算法则法：

例如，加法、减法、乘法、除法和复合函数的导数都有相应的运算法则。


1.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)


2.积的法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)


3.商的法则：((f(x))/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2


•  链式法则：

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  用于计算复合函数的导数。

  链式法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)。

• 微积分中的其他工具：

  例如，洛必达法则用于计算趋于0的无穷小比值的极限，泰勒公式可以将函数近似为一个多项式等等。根据具体情况选择适当的方法来计算导数。

                                   

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• 计算特定点的导数

如果需要计算函数在特定点的导数，可以将该点的坐标代入导数表达式中计算。

需要注意的是，求导过程中需要保持细致和耐心，确保每个步骤都正确无误。同时，还需要不断练习和巩固求导技能，以便更加熟练地掌握和应用求导方法。