Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D，P为BC上任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N。

（1）求证：PM+PN=BD（2）若点P是BC延长献上一点，其他条件不变，试探索PM、PN、BD之间的关系，并证明你的结论。

Answer 1

过c做CE⊥AB于E
△AEC≌△ADB
CE=DB
PM//CE
BP/BC=PM/CE①
PN//BD
CP/BC=PN/BD②
①②左右同时加在一起
BP/BC+CP/BC=PM/CE+PN/BD=PM/BD+PN/BD=(PM+PN)/BD
=(BP+CP)/BC=1
所以PM+PN=BD
（2）过C做CF⊥MP于F
∠FPB=90-∠B=90-∠ACB=90-∠PCN=∠CPN
△PFC≌△PNC
PN=PF
MF=CE
MP=MF+FP=CE+PN
结论MP=CE+PN

Answer 2

连接AP
因为S△ABC=S△ABP+S△APC
所以S△ABC=二分之一乘以BD乘以AC=S△ABP=二分之一乘以MP乘以AB+S△APC=二分之一乘以NP乘以AC
因为AB=AC
∴（化简）BC=MP+NP