Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。 （1）若BD：AD=2:3且CD=6 求AB AC 的长。

（2）若AD=m BD=n AC²：BC²=2:1 又关于x的方程1/4 x²-2（n-1）x+m²-12=0的两实数根的差的平方小于192 求整数m，n的值。
求第一小题也可以啦

Answer 1

（1） 设BD=2X;AD=3X;则在RT△BCD中，BC^2=BD^2+CD^2=4X^2+36; ……1
在RT△ACD中，AC^2=AD^2+CD^2=9X^2+36; ……2
在RT△ABC中，AB^2=AC^2+BC^2=25X^2 ……3
由1、2、3式得到X^2=6；BC^2=24+36=50; AC^2=54+36=90
BC=5√2 AC =3√10;
2. x的方程1/4 x²-2（n-1）x+m²-12=0 得到：
x²-8（n-1）x+4m²-48=0
x1、x2为方程的两根，因此
x1+x2=-8（n-1）；x1×x2=4m²-48；
已知两实数根的差的平方小于192，即 （x1-x2）^2<192
由于（x1-x2）^2=（x1+x2）^2-4x1×x2=[-8（n-1）]^2-4×(4m²-48)=64（n-1）^2-16(m²-12) <192;化简得到4（n-1）^2- (m²-12) <12即
4（n-1）^2< m²，m>0;n>0,因此2n<m+2
AD=m BD=n AC²：BC²=2:1
在RT△BCD中，BC^2=BD^2+CD^2=n^2+36; ……1
在RT△ACD中，AC^2=AD^2+CD^2=m^2+36; ……2
在RT△ABC中，AB^2=AC^2+BC^2=（m+m）^2 ……3
因此由1、2、3式得到 mn=36；
结合2n<m+2
讨论： n=1、2、3、4时，符合条件，m=36、18、12、9.。

Answer 2

(1)设BD=2a,AD=3a
易证：△ACD相似于△BDC
BD/CD=CD/AD =>CD*CD=AD*BD
=> 36=6a^2 a=根号6 BD =2根号6 ，AD=3根号6 所以AB=5根号6
在RT△ACD中，根据勾股定理可得：AC=3根号10

Answer 3

(1)解：设BD=2X,AD=3X
根据直角三角形相似可得：三角形ACD相似三角形BDC
BD/CD=CD/AD =>CD*CD=AD*BD
=> 36=6X^2 X=根号6 BD =2根号6 ，AD=3根号6 所以AB=5根号6
在三角形ACD中，勾股定理可得：AC=3根号10

Answer 4

（1）AB=5根号6，AC=3根号10
（2）m=2，n=1或m=4，n=2