Question

我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对

我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
。(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图案的名称;(2)如图，在三角形ABC中，点D,E分别在AB,AC上，设CD,BE相交于点O，若角A等于60度，角DCB等于角EBC等于二分之一角A,请你写出一个与角A相等的角，并猜想图中那个四边形是等对边四边形；
（3）在三角形ABC中，如果角A不是等于60度的锐角，点D,E分别在AB,AC上，且角DCB等于角EBC等于二分之一角A,探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
只需要做第三问，谢谢.................................................................................................

Answer 1

解

（3）此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．

证明：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．

因为∠DCB=∠EBC= ∠A，BC为公共边，

所以△BCF≌△CBG，

所以BF=CG，

因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，

所以∠BDF=∠BEC，

可证△BDF≌△CEG，

所以BD=CE

所以四边形DBCE是等边四边形．

还有另一种证法以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点．具体自己证下，很好玩的~~

Answer 2

（3）此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．

证明：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．
因为∠DCB=∠EBC= ∠A，BC为公共边，
所以△BCF≌△CBG，
所以BF=CG，
因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，
所以∠BDF=∠BEC，
可证△BDF≌△CEG，
所以BD=CE
所以四边形DBCE是等边四边形．

Answer 3

（3）此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．
证明：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．
因为∠DCB=∠EBC= ∠A，BC为公共边，
所以△BCF≌△CBG，
所以BF=CG，
因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，
所以∠BDF=∠BEC，
可证△BDF≌△CEG，
所以BD=CE
所以四边形DBCE是等边四边形．

Answer 4

平行四边形

Answer 5

存在