Question

正方形ABCD中，点F在AD上，点E在AB上，AE=EB,AF=1/4AD.求证：CE⊥EF

连接CE,EF ( 初二，勾股定理逆定理)

Answer 1

法一：由AF^2+AE^2=EF^2，BE^2+BC^2=EC^2，将AF=1/4AD，AE=BE=1/2AD，BC=AD代入，则EF^2=5/16AD^2，EC^2=5/4AD^2，故EF^2+EC^2=25/16AD^2。
由FC^2=FD^2+AD^2，将FD=3/4AD代入，FC^2=25/16AD^2
所以EF^2+EC^2＝FC^2，角FEC＝90度。CE⊥EF

法二：AF:EB=AE:BC=1:2，角A=角B＝90度，因此三角形FAE与三角形EBC相似，角AEF=角BCE。由角BCE＋角CEB＝90度，所以角AEF＋角CEB＝90度，所以角CEF＝90度。CE⊥EF