Question

高中函数题 设函数f(x)=1/[(x+1)ln(x+1)] (x>-1且x不等于0

(1）求函数f(X)的单调区间
（2）求函数f(X)值域
（3）已知2^1/x+1 >(x+1)^m 对任意x属于（-1,0）恒成立，求实数m的取值范围

不要抄SOSO上的，满意追加20分，重点是第二问

Answer 1

令x+1=t(t>0)，则先求g(t)=tlnt的值域
当t→+∞时g(t)→+∞，
g(1/t)=ln(1/t)/t=-lnt/t→0，即t→0时，g(t)→0
g'(t)=1+lnt 易得g(t)在(0,1/e)上为负且递减，在(1/e,+∞)递增；其中g(t)在(1,+∞)为正。
所以，f(x)在(0,1/e-1)递增，在(1/e-1,0)递减，在(0,+∞)递减。
f(1/e-1)=-e
所以f(x)的值域为(-∞,-e]∪(0,+∞)
（3）取对数，m<ln2×(x+1)/xln(x+1)
右边记作ln2×h(x) h'(x)=-(x+ln(x+1))/x²ln²(x+1)>0
h(x)递增，lim[x→-1]h(x)=0
所以m≤0

Answer 2

第一问知道，第二问不是很简单，第三问，两边取对数，变成f(x)＞多少m的形式，因为恒成立，最小值大于m,手机不方便写过程，不好意思

Answer 3

问你老师去

Answer 4

①f(x)'=[(1+x)ln(1+x)]'/[(1+x)²(ln(1+x))²]
=[ln(1+x)+1]/[(1+x)²(ln(1+x))²] 分母必大于零
令f(x)'=0 即ln(1+x)+1=0 解得x=(1-e)/e 即x=(1-e)/e 时取得极小值f(x)=-e
且 (1-e)/e>-1 在定义域内
当x∈(-1,1-e)/e)时 f(x)单调递增
当x∈(1-e)/e,+∞)时 f(x)单调递减
②由①可画出f(x)大致图像（也可以列表）易知f(x)∈[-e,0)∪(0,+∞)
③m<ln2×(x+1)/xln(x+1)
令h'(x)=-(x+ln(x+1))/x²ln²(x+1)>0
h(x)递增 h(x)min=0
m≤0