Question

如图，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4,作∠PQR,使得∠R=90°，点H在边QR上，点D,E

如图勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么三角形PQR的周长等于 ．

Answer 1

过点A作AN⊥RQ于点N，

由于∠ACB=90°，∠BAC=30°，四边形HACG、BCFK均为正方形，

所以∠HAC=∠HGC=∠AHG=∠BCF=∠FCG=90°，HA=AC=CG，BC=CF，

则△GCF≌△ACB（SAS），则∠CGF=∠BAC=30°，则∠HGQ=180°-∠CGF-∠HGC=180°-30°-90°=60°，

又由于∠HAN=180°-∠BAC-∠HAC=180°-30°-90°=60°，∠ANH=90°，

则∠AHN=30°，

所以∠Q=180°-∠AHN-∠AHG=180°-30°-90°=60°=∠HGQ，

则∠P=30°，且△QHG为等边三角形，

所以QH=HG=QG=HA=AC=CG，

由于在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，

则AC=AB×cos∠BAC=4×(√3/2)=2 √ 3，

由于四边形HACG为正方形，

所以HA=AC=2√ 3=QH，

在Rt△ANH中，由于∠AHN=30°，所以AN=HA/2=√ 3，HN=HA×cos∠AHN=2√ 3×(√ 3/2)=3，

又由于四边形ADEB是正方形，∠R=90°，AN⊥QR于点N，则四边形ANRD为矩形，

所以NR=AD=AB=4，

所以QR=QH+HN+NR=2√ 3+3+4=7+2√ 3，

所以PQ=2QR=14+4√ 3，

PR=QR×tan∠P=(7+2√ 3)×(√ 3)=7√ 3+6，

所以△PQR的周长为：QR+PQ+PR=7+2√ 3+14+4√ 3+7√ 3+6=27+13√ 3。

Answer 2

过点A作AN⊥RQ于点N，

由于∠ACB=90°，∠BAC=30°，四边形HACG、BCFK均为正方形，

所以∠HAC=∠HGC=∠AHG=∠BCF=∠FCG=90°，HA=AC=CG，BC=CF，

则△GCF≌△ACB（SAS），则∠CGF=∠BAC=30°，则∠HGQ=180°-∠CGF-∠HGC=180°-30°-90°=60°，

又由于∠HAN=180°-∠BAC-∠HAC=180°-30°-90°=60°，∠ANH=90°，

则∠AHN=30°，

所以∠Q=180°-∠AHN-∠AHG=180°-30°-90°=60°=∠HGQ，

则∠P=30°，且△QHG为等边三角形，

所以QH=HG=QG=HA=AC=CG，

由于在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4，

则AC=AB×cos∠BAC=4×(√3/2)=2 √ 3，

由于四边形HACG为正方形，

所以HA=AC=2√ 3=QH，

在Rt△ANH中，由于∠AHN=30°，所以AN=HA/2=√ 3，HN=HA×cos∠AHN=2√ 3×(√ 3/2)=3，

又由于四边形ADEB是正方形，∠R=90°，AN⊥QR于点N，则四边形ANRD为矩形，

所以NR=AD=AB=4，

所以QR=QH+HN+NR=2√ 3+3+4=7+2√ 3，

所以PQ=2QR=14+4√ 3，

PR=QR×tan∠P=(7+2√ 3)×(√ 3)=7√ 3+6，

所以△PQR的周长为：QR+PQ+PR=7+2√ 3+14+4√ 3+7√ 3+6=27+13√ 3。

Answer 3

27+13√3