一道数学题(初三的)在线等.....帮个忙 我很急
四边形ABCD的对角线ACBD交于点P,过P点作直线交AD于E,交BC于F若PE=PF且AP+AE=CP+CF1.求证PA=PC2.若AD=12AB=15角DAB=60度...
四边形ABCD的对角线AC BD交于点P,过P点作直线交AD于E,交BC于F 若PE=PF
且AP+AE=CP+CF
1. 求证 PA=PC
2. 若AD=12 AB=15 角DAB=60度 求ABCD的面积? 展开
且AP+AE=CP+CF
1. 求证 PA=PC
2. 若AD=12 AB=15 角DAB=60度 求ABCD的面积? 展开
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(1)证明:从E、F分别做AC垂线,垂足为M、N
在△PEM和△PFN中
∠EMP=∠FNP=90
∠EPM=∠FPN(对顶角)
PE=PF。
所以△PEM≌PFN。PM=PN,EM=FN
因为AP+AE=CP+CF
所以AP-PM+AE=CP-PN+CF
即AE+AM=CF+CN①
在RT△AEM中,AE²-AM²=EM²
在RT△CFN中,CF²-CN²=FN²
因此AE²-AM²=CF²-CN²②
将①、②比较,运用平方差公式,AE-AM=CF-CN③
①-③,2AM=2CN,所以AM=CN
又因为PM=PN,所以AM+PM=CN+PN。因此AP=CP
(2)从D做AB垂线,交AB于H
因为AP=CP,所以△ADP和△CDP等底等高,面积相等,因此S△ADP=S△ACD/2
△ABP和△CBP等底等高,面积相等,因此S△ABP=S△ACB/2
所以S△ADP+S△ABP=(S△ACD+S△ACB)/2
即S△ABD=S四边形ABCD
在RT△AHD中,∠DAH=60°,所以DH=√3AD/2=6√3
S△ABD=1/2×AB×DH=45√3
所以S四边形ABCD=90√3
在△PEM和△PFN中
∠EMP=∠FNP=90
∠EPM=∠FPN(对顶角)
PE=PF。
所以△PEM≌PFN。PM=PN,EM=FN
因为AP+AE=CP+CF
所以AP-PM+AE=CP-PN+CF
即AE+AM=CF+CN①
在RT△AEM中,AE²-AM²=EM²
在RT△CFN中,CF²-CN²=FN²
因此AE²-AM²=CF²-CN²②
将①、②比较,运用平方差公式,AE-AM=CF-CN③
①-③,2AM=2CN,所以AM=CN
又因为PM=PN,所以AM+PM=CN+PN。因此AP=CP
(2)从D做AB垂线,交AB于H
因为AP=CP,所以△ADP和△CDP等底等高,面积相等,因此S△ADP=S△ACD/2
△ABP和△CBP等底等高,面积相等,因此S△ABP=S△ACB/2
所以S△ADP+S△ABP=(S△ACD+S△ACB)/2
即S△ABD=S四边形ABCD
在RT△AHD中,∠DAH=60°,所以DH=√3AD/2=6√3
S△ABD=1/2×AB×DH=45√3
所以S四边形ABCD=90√3
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解:
(1)因为 PE=PF
所以 点P平分AC ,BD
所以 四边形ABCD为平行四边形
又因为 平行四边形对角线相互平分,且AP+AF=CP+CF
所以AP=PC,AE=CF
(2)
(1)因为 PE=PF
所以 点P平分AC ,BD
所以 四边形ABCD为平行四边形
又因为 平行四边形对角线相互平分,且AP+AF=CP+CF
所以AP=PC,AE=CF
(2)
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2,Sabcd=AD乘以ABSin60=12*15*√3/2=90√3
追问
初三的解题方法
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此题的解题方法方发是证明三角形全等。
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