Question

已知函数f(x)=log1/2为底,(1-x/1+x),x∈(-1,1)判断f(x)的单调性并加以证明

Answer 1

解：令-1<x1<x2<1,
则f(x2)-f(x1)=log1/2[(1-x2)/(1+x2)]-log1/2[(1-x1)/(1+x1)]
=log1/2[(1-x2)(1+x1)/(1+x2)(1-x1)]
为了方便书写，仅把对数的真数部分（以N表示）拿出来作比较讨论！！！
N=(1-x2)(1+x1)/(1+x2)(1-x1)=(1-x1*x2+x1-x2)/(1-x1*x2+x2-x1)
因为由假设可得：x2>x1, 所以x2-x1>0，所以，N中，0<分子<分母，因此分式值，即0<N<1
又因为f(x)=log1/2 (x)的对数，当底数0<a<1时，为减函数，
所以，显然，根据其函数的图像及性质可知，真数0<N<1时，函数值f(x)>0，
即f(x2)-f(x1)>0，所以已知函数f(x)在已知区间上，为单调递增函数。