Question

？？？已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，+无穷)上是减函数，判断f(x)在(-无穷，0)上是增函数还是减函数...

？？？已知函数f(x)是偶函数，而且在(0，+无穷)上是减函数，判断f(x)在(-无穷，0)上是增函数还是减函数，并证明你的判断

要详细步

Answer 1

设任意数x1＞x2＞0，由题f(x1)＜f(x2)，
由于f(x)为偶函数，则有f(-x1)=f(x1)，f(x2)=f(-x2)；
-x1＜-x2＜0
[f(-x1)-f(-x2)]/(-x1- -x2)＜0
得f(x)在(-无穷，0)上递增。
偶函数的单调性也是对称的！
谢谢！

Answer 2

任取+无穷>x1>x2>0,依题意有f(x1)<f(x2).由于是偶函数则f(-x1)<f(-x2)
又因为-无穷<-x1<-x2<0,令t1=-x1,t2=-x2,并且由于x1和x2的任取性，即任取的-无穷<t1<t2<0有f(t1)<f(t2)
知f(x)在(-无穷，0)上递增。

Answer 3

增函数
证明：依题意：f(x)=f(-x)
设x1,x2是零到正无穷上的任意两数，且有x1<x2,则f(x2)-f(x1)<0
-x1,-x2是负无穷到零之间的任意数，且有-x1>-x2,则f(-x1)-f(-x2)=f(x1)-f(x2)>0,
即f(x)在负无穷到零上是增函数

Answer 4

已知函数f(x)是偶函数,关于y轴对称，则f(-x)=f(x),令x1>x2,由f(x)在(0，+无穷)上是减函数,故有f(x1)<f(x2),推出f(-x1)<f(-x2),而-x1<-x2,所以f(x)在(-无穷，0)上是增函数。

Answer 5

取x1＜x2＜0
因为函数是偶函数，f(x1)-f(x2)=f(-x1)-f(-x2)
-x1＞-x2＞0,在区间（0，+∞），且为减函数，
因此f(-x1)＜f(-x2)
所以f(x1)-f(x2)＜0
函数因此在区间（-∞，0）上是增函数