Question

高中数学不等式证明

对于任意实数x y 求证 【x的四次方】+【y的四次方】 大于等于 【二分之一】 乘【xy】 乘【（x+y）的平方 】

Answer 1

欲证 x^4+y^4 ≥ (1/2) xy (x+y)^2
即证 2x^4+2y^4 ≥ xy (x+y)^2
= x^3 y + x y^3 + 2 x^2 y^2
又 x^4+y^4 ≥ 2 x^2 y^2
即证 x^4+y^4 ≥ x^3 y + x y^3
即证 x^3 (x-y)-y^3 (x-y) ≥ 0
即证 (x-y)^2 (x^2+xy+y^2) ≥ 0
又 (x-y)^2 ≥ 0，x^2+xy+y^2≥ 0恒成立。
故，x^4+y^4 ≥ (1/2) xy (x+y)^2。

Answer 2

∵ 【x^4+y^4】 - 【1/2 xy (x+y)^2 】
= x^4+y^4 - 1/2 xy (x^2+y^2+2xy)
= x^4+y^4 - 1/2 x^3y-1/2xy^3-x^2y^2
= x^4+y^4 -2xy^2 - 1/2 x^3y-1/2xy^3+x^2y^2
= (x^2-y^2)^2 - 1/2xy(x-y)^2
= (x+y)^2 (x-y)^2 - 1/2xy(x-y)^2
= (x-y)^2 {(x+y)^2-1/2xy}
= (x-y)^2 (x^2+y^2+3//2xy)
= (x-y)^2 {(x+3/4y)^2 + 7/16y^2} ≥ 0
∴【x^4+y^4】 ≥ 【1/2 xy (x+y)^2 】

Answer 3

∵2x^4+2y^4-x³y-xy³-2x²y²
=(x²-y²)²+x^4-x³y+y^4-xy³
=(x²-y²)²+x³(x-y)-y³(x-y)
=(x²-y²)²+(x-y)²(x²+xy+y²)
≥0
∴原式成立

Answer 4

用均值不等式是可以解决的,不过这里我想告诉楼主一个比较通用的方法.
令s=1/2(x+y),t=1/2(x-y),可得x=s+t,y=s-t
左式 = (s+t)^4 + (s-t)^4 = 2( s^4 + 6 s^2 t^2 + t^4 )
右式 = 1/2 (s+t)(s-t) (2s)^2 = 2( s^4 - s^2 t^2 )
左-右 = 2( 7 s^2 t^2 + t^4 ) > 0
当t=0时,也即是x=y时取等.

Answer 5

由基本不等式有
x^4+y^4>=0.5(x^2+y^2)^2=0.5(x^2+y^2)(x^2+y^2)>=0.5*2xy*0.5(x+y)^2=0.5xy(x+y)^2得证。