Question

请教高数的问题. 设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f[f(x)]=x,证明在(-∞,+∞)内至少有一个Xo满足f(Xo)=Xo

Answer 1

这个就是局部保号性 可以直接用定义来证明

根据连续定义 y=f(x)在Xo处连续 则对任意ε>0 存在δ>0 |x-Xo|<δ时 有 |f(x)-f(Xo)|<ε
现取ε=f(Xo)/2 则有 |f(x)-f(Xo)|<f(Xo)/2 绝对值打开可以得
f(Xo)/2<f(x)<3*f(Xo)/2 因为f(Xo)>0 所以可以得到 f(x)>0(|x-Xo|<δ)

Answer 2

令h(X)=f(x)-x,则h(x)在(-∞,+∞)内连续
任取x1，1）若f（x1）=x1，则结论成立；2）若f(x1)!=x1
,则有
h(x1)=f(x1)-x
h(f(x1))=f(f(x1)))-f(x1)=x1-f(x1)
故h(x)在x1与f（x1）两点间异号，由零点存在定理得，至少存在一点x0，使得h()

Answer 3

用反证法，小见参考资料