Question

因式分解a^3+b^3+c^3-3abc

最好有过程，怎么想的。

Answer 1

方法有好几种，楼上的拆添项法就不错。不过最简单的可能是用对称性“看”出来。
分解因子之一肯定是一次式，而且a^3, b^3, c^3系数都是1，猜想一个因子应该是a+b+c.
另一个因子带a^2（要出a^3），由对称性应该也有b^2, c^2. 但是这样会出a^2*b
之类的项，为了消去需要减掉一个二次式，还要对称，最直接的是猜ab+bc+ca, 一验证发现就对了~
最后结果是(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) .
另外，还可以从原式=0的条件来分析，这也是一种挺巧妙的思路。

Answer 2

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

Answer 3

(a+b+c) (a^2-a b-a c+b^2-b c+c^2)
呵呵，三楼说的很对。。。