Question

设随机变量X与Y相互独立，F(x)与F(y)分别是它们的分布函数

设随机变量X与Y相互独立，F(x)与F(y)分别是它们的分布函数，另Z=min(X,Y)，求Z的分布函数F(z)。这题怎么解？

Answer 1

F(z)=P(Z≤z)=P(min(X,Y)≤Z)=1-P(min(X,Y)>Z)=1-P(X>Z,Y>Z)=1-P(X>Z)P(X>Z)
=1-[1-P(X≤Z)][1-P(Y≤Z)]=1-[1-F1(Z)][1-F2(Z)]
其中F1(Z)是X的分布函数
F2(Z)是Y的分布函数.

追问

1-P(min(X,Y)>Z)=1-P(X>Z,Y>Z)这一步是怎么来的？就是说如果XZ)=P(X>Z)，如果X>=Y，P(min(X,Y)>Z)=P(Y>Z)，然后这个等式就成立了？一时理解不了，能给再解释一下吗？另外，这题不能直接去求P(min(X,Y)≤Z)吗？如果直接求又是个什么样的思路？先谢了啊~

追答

如果min(X,Y)>Z则X>Z,Y>Z必然都成立,反之X>Z,Y>Z成立则min(X,Y)>Z
所以min(X,Y)>Z与X>Z,Y>Z等价.