已知圆O:x^2+y^2=4和点M(1,a)若 a=根号2,过点M的圆的两条弦AC,BD互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值

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莫大于生
2011-04-13 · TA获得超过7768个赞
知道小有建树答主
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为简化计算,把M(1,√2)绕O旋转至N(0,√3),
设AC:kx-y+√3=0,则
BD:x+k(y-√3)=0,
O到AC的距离d1=(√3)/√(k^2+1),
O到BD的距离d2=|k√3|/√(k^2+1),
d1^2+d2^2=3,
(d1d2)^2<=(3/2)^2,
AC=2√(4-d1^2),
BD=2√(4-d2^2),,
设w=AC+BD,
则(w/2)^2=8-(d1^2+d2^2)+2√[(4-d1^2)(4-d2^2)]
=5+2√[16-4(d1^2+d2^2)+(d1d2)^2]
<=5+2√[16-4*3+9/4]=5+5=10,
∴w/2<=√10,
w<=2√10,当d1=d2=√(3/2)时取等号,
∴AC+BD的最大值是2√10.
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