Question

一道初二数学题，平行四边形的判定。题目在图里。

Answer 1

- -。。。
证明： 延长BE至F 使得BE=EF 连接FC
∵E为AC中点 ∴AE=EC ∠FEC=∠BEA(对顶角）
在△FEC和△BEA中
｛FE=BE ∠FEC=∠BEA EC=AC
∴△FEC≌△BEA(SAS)
∴AB=AC=FC=CD ∠FCA=∠A
∴∠DCB=∠A+∠ABC(∠DCB为三角形ABC外角）
又∠FCB=∠FCA+∠ACB
∵AB=AC ∴∠ACB=∠ABC
又∠FCA=∠A
∴∠FCB=∠DCB
在△BCF和△BCD中
BC=BC（BC公共) ∠FCB=∠DCB FC=CD
∴△BCF≌△BCD(SAS）
∴BF=BD ∵BF=EF+BE=2BE
∴BD=2BE 即 BE=1/2BD

Answer 2

证明：延长AB至F使BF=AB，连CF
因为AE=EC，所以BE是三角形ACF的中位线
所以2BE=CF
又因为AC=AB，AD=2AC=2AB=AF，角A是公共角
所以三角形ABD与三角形ACF全等
所以BD=CF
所以EF=BD/2

Answer 3

因为E是AC中点，且AB=AC
所以AE=1/2AC=1/2AB
于是AE/AB=1/2
因为CD=AC，
所以AD=2AC=2AB
于是AB/AD=1/2
因为AE/AB=1/2，角BAE=角DAB，AB/AD=1/2
所以三角形BAE相似于三角形DAB
所以BE/BD=AE/AB=AB/AD=1/2
即BE=1/2BD

Answer 4

证明：在AB上找到AB的中点，设为F，连接CF，EF。
由E是AD中点，得：AE=EC ——————————①
由F是AB中点，得：AF=FB ——————————②
AB=AC——————————————————③
由①，②，③得：EC=FB，∠ACB=∠ABC，CB=BC
推出△ECB≌△FBC，进一步推出：BE=FC————————④
由AC=CD，AF=FB，得：AC/AD=AF/AB=1/2，又因为∠CAF=∠DAB
进一步推出：△CAF∽△DAB，
推出：CF/DB=AC/AC=1/2 进一步推出：CF=（1/2）BD——————⑤
由④和⑤推出结论：BE=（1/2）BD