Question

2.已知函数f(x)=x|x-a|-2 当x属于(0,1]时,f(x)〈1/2x^2-1恒成立,求实数a的范围

Answer 1

见图。

Answer 2

由条件知 x|x-a|-2<1/2x^2-1在(0,1]上恒成立，(因为x不等于0，所以不等式两端同除以x)
所以|x-a|<(1/2)x+1/x在(0,1]上恒成立
所以 -(1/2)x-1/x<a-x<(1/2)x+1/x在上恒成立
(1/2)x-1/x<a<(3/2)x+1/x在(0,1]上恒成立
令g(x)=(1/2)x-1/x, h(x)=(3/2)x+1/x, 则 g(x)的最大值<a<f(x)的最小值
因为g(x)=(1/2)x-1/x在(0,1]上是单调递增的，所以g(x)的最大值为g(1)=-1/2
h(x)=(3/2)x+1/x>=√6（当x=√6/3属于(0,1]时等号成立）
所以-1/2<a<√6

请问函数f(x)=1/2x^2-1中的x^2在分母上吗？我的上述解答是按照在分子上解的

注：楼上那位g(x)=1/(2x^2)-1在x属于(0,1]的值域是错误的，因为此函数在(0,1]上是个减函数，在
x=1处取到最小值，所以值域应该是[1/2,+∞)