Question

初三数学 急！！！解答的完整可以加分！！！

梯形ABCD中，AD//BC,AD=a，BC=b（a》b），对角线AC，BD相交于点O，点E,F分别是AB,CD的中点，过点o作直线GH//AD交AB，CD于点G,H,作PQ//AD交AB，CD于P,Q,PQ将梯形面积二等分。（1）证明GO/AD+GO/BC=1.(2)用a，b的代数式表示线段EF,GH,PQ的长；（3）请你根据图形判断EF，GH，PQ的大小，并用代数方法证明你的结论

Answer 1

(1) ∵GH//BC//AD ∴OB/DB=HC/DC 且AO/AC=DH/DC
∵△BGO∽△BAD ∴GO/AD=OB/DB=HC/DC
又∵△AGO∽△ABC ∴GO/BC=AO/AC=DH/DC
所以GO/AD+GO/BC=HC/DC+DH/DC=(HC+DH)/DC=DC/DC=1
得证
(2)EF=(a+b)/2
GH=2ab/(a+b)
PQ=√(b²+a²/2)
(3)GH<EF<PQ
以上(2)的求证过程略,设a=xb 即a/b=x 则x>1
EF-GH=(a+b)/2-2ab/(a+b)
=[(a+b)²-4ab]/(a+b)²
分子分母同时除以b
=[(x+1)²-4]/(x+1)²
=(x+1+2)(x+1-2)/(x+1)²
=(x+3)(x-1)/(x+1)²
由于x>1,所以上式任何项目都为正,所以EF-GH>0 则GH<EF

PQ²-EF²=b²+a²/2-(a+b)²/4
=b²+a²/2-(a²+b²+2ab)/4
=(4b²+2a²-a²-b²-2ab)/4
=(3b²+a²-2ab)/4
=(3b²+a² -2√3 * ab+2√3* ab -2ab)/4
=[(a-√3b)² + 2(√3-1) ab ]/4
显然平方项一定大于0,
而√3大于1 ,所以整式大于0
所以PQ²>EF²
其正数平方根PQ 一定大于 EF,即EF<PQ
所以GH<EF<PQ

Answer 2

GH和PQ都平行于AD？？？？？