Question

如何对下列式子因式分解？

Answer 1

(x-y-2)(x²+xy-2y+x²+2x+4)
没法继续分解了，只能提这么一个出来。
这个只能一个个试，因为有x³和-8，所以直接猜测其中有x-2这个因子，但是马上发现这不能分下去，所以可见因式分解完不存在两项式，那就把x-y-2凑上。

Answer 2

设x^3-y^3-6xy-8=(x-y-2)(x^2+xy+y^2+mx+ny+4)
=x^3-y^3+(x-y)(mx+ny+4)-2(x^2+xy+y^2+mx+ny)-8,
所以-6xy=(x-y)(mx+ny+4)-2(x^2+xy+y^2+mx+ny)
=(m-2)x^2+(n-m-2)xy-(n+2)y^2+(4-2m)x-(4+2n)y,
比较得m=2,n=-2.
于是x^3-y^3-6xy-8=(x-y-2)(x^2+xy+y^2+2x-2y+4).

Answer 3

Answer 4

本题可通过添项、分组，再利用立方和公式等进行因式分解。

- 步骤一：对原式进行变形
观察原式x^{3}-y^{3}-6xy - 8，可将-8写成-2^{3}，即x^{3}-y^{3}-6xy - 2^{3}。

- 步骤二：利用立方和公式a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)进行分组分解
将原式分组为(x^{3}-2^{3}) - y^{3}-6xy，根据立方差公式a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)对x^{3}-2^{3}进行因式分解，可得(x - 2)(x^{2} + 2x + 4) - y^{3}-6xy。

此时可尝试通过凑项来构造出公因式，将原式进一步变形为(x^{3}-2^{3}-y^{3}-6xy)，即(x^{3}+(-2)^{3}+(-y)^{3}-3x\times (-2)\times (-y))。

根据立方和公式a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)，在(x^{3}+(-2)^{3}+(-y)^{3}-3x\times (-2)\times (-y))中a = x，b = -2，c = -y，则有：
x^{3}+(-2)^{3}+(-y)^{3}-3x\times (-2)\times (-y)=(x + (-2) + (-y))(x^{2} + (-2)^{2} + (-y)^{2} - x\times (-2) - (-2)\times (-y) - (-y)\times x)=(x - y - 2)(x^{2} + y^{2} + 4 + 2x - 2y + xy)

综上，x^{3}-y^{3}-6xy - 8因式分解的结果为(x - y - 2)(x^{2} + xy + y^{2} + 2x - 2y + 4)。