Question

替同学问一个关于用定积分求旋转体体积的问题

同济大学第五版上册的 习题6-2中的19题 证明 大概意思是用微元法证明平面图形绕Y轴旋转所成的旋转体体积
已知关于x的方程曲线,x=a,x=b,及x轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周的体积(请看清这几个xy)
V=2pi∫(b,a) x f(x)dx
这个体积元素是2pi xf(x)dx,请问是如何得出的啊?
详细点谢谢啦

Answer 1

在曲线f(x)上取一小段并由它向x轴作射影，得以小曲边梯形,近似看作矩形，高为f(x),宽为x到x+dx的距离dx,
把这个小曲边梯形绕y轴旋转一周，所得旋转体可看作是底面为圆环（小圆半径为x，大圆半径为x+dx），高为f(x)的柱体，体积dV=底面积*高=[π(x+dx)^2-πx^2]*f(x)=π[(x+dx)^2-x^2]*f(x)=π(2x+dx)*dx*f(x)
=π[2xdx+(dx)^2]f(x)=2πxf(x)dx((dx)^2略去）

Answer 2

怎么和我们学校的教材一样的？

追问

觉得教材关于定积分平面图形绕Y轴的微元法解释的不详细 想真正的弄明白

追答

你要化成几个体积的差。我这里画不了图。不好解释啊！
V=pib^2f(b)-pia^2f(a)-∫(f(b),f(a))pix^2dy.....(1)
y=f(x),则dy=f'(x)dx (换元) ,
∫(f(b),f(a))pix^2dy=∫(b,a) pix^2 f'(x)dx=pix^2f(x)l(b,a)-2pi∫(b,a) x f(x)dx(分部积分)
=pib^2f(b)-pia^2f(a)-2pi∫(b,a) x f(x)dx.......(2)
将2带入1式
故v=2pi∫(b,a) x f(x)dx