Question

若复矩阵A与B可交换，即AB=BA，证明A,B至少有一个公共的特征向量。

Answer 1

A,B至少有一公共的特征向量,不可能保证存在公共特征值,比如A=I,B=0
至于公共特征向量的存在性,
任取A的特征值a及其特征子空间X,
那么对X中的任何向量x,
则ABx=BAx=aBx,
于是Bx也属于X,
也就是说X是B的一个不变子空间,
其中必存在B的特征向量.

Answer 2

, B' = B
所以有
AB是对称矩阵
<=> (AB)' = AB
<=> B'A' = AB
<=> BA = AB
<=> A,B可交换