Question

大一高等数学二重积分问题

求由曲面Z=X2+2Y2及Z=6-2X2-Y2所围成的立体的体积。 图形是一个开口向上的抛物面和一个开口向下的抛物面围成的立体，不用考虑图形具体的样子
首先求立体在xy坐标面上的投影区域，把两个曲面的交线投影到xy面上去，就是两个方程联立，消去z，得x^2＋y^2＝2，所以立体在xy坐标面上的投影区域是D：x^2＋y^2≤2
其次，根据二重积分的几何意义，立体的体积是两个曲顶柱体的体积的差，两个曲顶分别是Z＝x^2+2y^2和z＝6-2x^2-y^2，很容易判断得到z＝6-2x^2-y^2在Z＝x^2+2y^2上方
所以，立体的体积V＝∫∫(D)[(6-2x^2-2y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy，在极坐标系下化为累次积分：V＝∫(0～2π)dθ∫(0～√2)(6－3ρ^2)ρdρ＝6π

上述解法中 1 为什么要求X^2+Y^2=<2 这个又有什么几何意义？
2求重积分∫∫(D)[(6-2x^2-2y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy 能否不用极坐标一般解法

谢谢
1,。

Answer 1

1上面一个开口向下的抛物面和下面一个开口向上的抛物面围城的立体就像一个“扁球”一样（不一定恰当的比喻），这个“扁球”在平面的投影是一个圆盘，这个圆盘可以用这样的式子x^2＋y^2≤2
表示。
2当然可以不用极坐标求解了，你可以把它看成x型区域或y型区域来求解。这时这个体积看可以看成第一卦限体积的4倍，0≤ x≤√2 ，0≤ y≤√（2 -x^2）
V＝∫∫(D)[(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy＝4∫(0～√2)dx∫(0～√（2-x^2）)[(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dy＝4∫(0～√2)dx∫(0～√（2-x^2）)[6-3x^2-3y^2]dy=6π
不过这样积分比较麻烦！因为投影区域是园，所以用极坐标更方便！

Answer 2

1、为什么要求X^2+Y^2=<2 这个又有什么几何意义？
这个是求积分区域D，根据D的范围确定X、Y的积分上下限。
2、求重积分∫∫(D)[(6-2x^2-2y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy 能否不用极坐标一般解法
用极坐标求解可以简单化
如果用一般解法：
原式=4∫∫(K)[(6-2x^2-2y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy （假设K表示一个范围，D=4*K）
=4[∫∫(K)(6-2x^2-2y^2)dxdy-∫∫(K)(x^2+2y^2)]dxdy]
=4[∫(0～√2)dx∫(0～√(2-x^2))(6-2x^2-2y^2)dy-∫(0～√2)dx∫(0～√(2-x^2))(x^2+2y^2)dy]

这样计算，计算量明显增大了很多。