Question

急~~~~~谁有大学高数考试模拟试题~！

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Answer 1

一、填空题（每小题1分，共10分）
_________ 1
1．函数y＝arcsin√1－x2 ＋ —————— 的定义域为_______________。
_________
√1－ x2

2．函数y＝x＋ex 上点（ 0，1 ）处的切线方程是______________。

f（Xo＋2h）－f（Xo－3h）
3．设f（X）在Xo可导且f'（Xo）＝A，则lim ——————————————— ＝___。
h→o h

4．设曲线过（0，1），且其上任意点（X，Y）的切线斜率为2X，则该曲线的方程是___。

x
5．∫—————dx＝_____________。
1－x4

1
6．lim Xsin———＝___________。
x→∞ X

7．设f（x，y）＝sin（xy），则fx（x，y）＝____________。

_______
R √R2－x2
8．累次积分∫ dx ∫ f（X2 ＋ Y2 ）dy 化为极坐标下的累次积分为_______。
0 0

d3y 3 d2y
9．微分方程——— ＋ ——（——— ）2 的阶数为____________。
dx3 x dx2

∞ ∞
10．设级数 ∑ an发散，则级数 ∑ an _______________。 n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的○内，1～10每小题1分，11～20每小题2分，共30分）

（一）每小题1分，共10分

1
1．设函数f（x）＝—— ，g（x）＝1－x，则f〔g（x）〕＝ ( )
x

1 1 1
①1－ —— ②1＋ —— ③ ———— ④x
x x 1－ x

1
2．x→0 时，xsin——＋1 是 ( )
x

①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量

3．下列说法正确的是 ( )

①若f（ X ）在 X＝Xo连续， 则f（ X ）在X＝Xo可导
②若f（ X ）在 X＝Xo不可导，则f（ X ）在X＝Xo不连续
③若f（ X ）在 X＝Xo不可微，则f（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若f（ X ）在 X＝Xo不连续，则f（ X ）在X＝Xo不可导

4．若在区间（a，b）内恒有f'（x）〈0，f"（x）〉0，则在（a，b）内曲线弧y＝f（x）为( )

①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧

5．设F'(x) ＝ G'(x)，则 ( )

① F(X)＋G(X) 为常数
② F(X)－G(X) 为常数
③ F(X)－G(X) ＝0
d d
④ ——∫F（x）dx ＝ ——∫G（x）dx
dx dx

1
6．∫ │x│dx ＝ ( )
-1

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3

7．方程2x＋3y＝1在空间表示的图形是 ( )

①平行于xoy面的平面
②平行于oz轴的平面
③过oz轴的平面
④直线

x
8．设f（x，y）＝x3 ＋ y3 ＋ x2 ytg—— ，则f（tx，ty）＝ ( )
y

1
①tf（x，y） ②t2f（x，y） ③t3f（x，y） ④ ——f（x，y）
t2

an＋1 ∞
9．设an≥0，且lim ————— ＝p，则级数 ∑an ( )
n→∞ a n=1

①在p〉1时收敛，p〈1时发散
②在p≥1时收敛，p〈1时发散
③在p≤1时收敛，p〉1时发散
④在p〈1时收敛，p〉1时发散

10．方程 y'＋3xy＝6x2y 是 ( )

①一阶线性非齐次微分方程
②齐次微分方程
③可分离变量的微分方程
④二阶微分方程二）每小题2分，共20分

11．下列函数中为偶函数的是 ( )

①y＝ex ②y＝x3＋1 ③y＝x3cosx ④y＝ln│x│

12．设f（x）在（a，b）可导，a〈x1〈x2〈b，则至少有一点ζ∈（a，b）使 ( )

①f（b）－f（a）＝f'（ζ）（b－a）
②f（b）－f（a）＝f'（ζ）（x2－x1）
③f（x2）－f（x1）＝f'（ζ）（b－a）
④f（x2）－f（x1）＝f'（ζ）（x2－x1）

13．设f（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是f（X）在 X＝Xo 可导的 ( )

①充分必要的条件
②必要非充分的条件
③必要且充分的条件
④既非必要又非充分的条件

d
14．设2f（x）cosx＝——〔f（x）〕2 ，则f（0）＝1，则f（x）＝ ( )
dx

①cosx ②2－cosx ③1＋sinx ④1－sinx

15．过点（1，2）且切线斜率为 4x3 的曲线方程为y＝ ( )

①x4 ②x4＋c ③x4＋1 ④x4－1

1 x
16．lim ——— ∫ 3tgt2dt＝ ( )
x→0 x3 0

1
① 0 ② 1 ③ —— ④ ∞
3

xy
17．lim xysin ————— ＝ ( )
x→0 x2＋y2
y→0

① 0 ② 1 ③ ∞ ④ sin1

18．对微分方程 y"＝f（y，y'），降阶的方法是 ( )

① 设y'＝p，则 y"＝p'
dp
② 设y'＝p，则 y"＝ ———
dy
dp
③ 设y'＝p，则 y"＝p———
dy
1 dp
④ 设y'＝p，则 y"＝—— ———
p dy

∞ ∞
19．设幂级数 ∑ anxn在xo（xo≠0）收敛， 则 ∑ anxn 在│x│〈│xo│ ( )
n=o n=o

①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与an有关

sinx
20．设D域由y＝x，y＝x2所围成，则∫∫ —————dσ＝ ( )
D x

1 1 sinx
① ∫ dx ∫ ————— dy
0 x x
__
1 √y sinx
② ∫ dy ∫ —————dx
0 y x
__
1 √x sinx
③ ∫ dx ∫ —————dy
0 x x
__
1 √x sinx
④ ∫ dy ∫ —————dx
0 x x
三、计算题（每小题5分，共45分）

___________
／ x－1
1．设 y＝ ／ —————— 求 y' 。
√ x（x＋3）

sin（9x2－16）
2．求 lim ——————————— 。
x→4/3 3x－4

dx
3．计算 ∫ ——————— 。
（1＋ex ）2

t 1 dy
4．设x＝ ∫（cosu）arctgudu，y＝∫（sinu）arctgudu，求———
0 t dx

5．求过点 A（2，1，－1），B（1，1，2）的直线方程。

___
6．设 u＝ex＋√y ＋sinz，求 du 。

x asinθ
7．计算 ∫ ∫ rsinθdrdθ 。
0 0
y＋1
8．求微分方程 dy＝（ ———— ）2dx 通解 。
x＋1

3
9．将 f（x）＝ ————————— 展成的幂级数 。
（1－x）（2＋x）

四、应用和证明题（共15分）

1．（8分）设一质量为m的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（ 比例常数为k〉0 ）求速度与时间的关系。

___ 1
2．（7分）借助于函数的单调性证明：当x〉1时，2√x 〉3－ —— 。附：高等数学（一）参考答案和评分标准

一、填空题（每小题1分，共10分）

1．（－1，1）

2．2x－y＋1＝0

3．5A

4．y＝x2＋1

1
5．——arctgx2＋c
2

6．1

7．ycos（xy）

π/2 π
8．∫ dθ ∫ f（r2）rdr
0 0

9．三阶

10．发散
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的○内，1～10每小题1分，11～20每小题2分，共30分）

（一）每小题1分，共10分

1．③ 2．③ 3．④ 4．④ 5．②

6．② 7．② 8．⑤ 9．④ 10．③

（二）每小题2分，共20分

11．④ 12．④ 13．⑤ 14．③ 15．③

16．② 17．① 18．③ 19．① 20．②三、计算题（每小题5分，共45分）

1
1．解：lny＝——〔ln（x－1）－lnx－ln（x＋3）〕 （2分）
2
1 1 1 1 1
——y'＝——（————－——－————） （2分）
y 2 x－1 x x＋3
__________
1 ／ x－1 1 1 1
y'＝—— ／——————（————－——－————） （1分）
2 √ x（x＋3） x－1 x x＋3

18xcos（9x2－16）
2．解：原式＝lim ———————————————— （3分）
x→4/3 3
18（4／3）cos〔9（4／3）2－16〕
＝ —————————————————————— ＝8 （2分）
3

1＋ex－ex
3．解：原式＝∫———————dx （2分）
（1＋ex）2
dx d（1＋ex）
＝∫—————－∫——————— （1分）
1＋ex （1＋ex）2
1＋ex－ex 1
＝∫———————dx ＋ ————— （1分）
1＋ex 1＋ex
1
＝x－ln（1＋ex）＋ ————— ＋ c （1分）
1＋ex

4．解：因为dx＝（cost）arctgtdt，dy＝－（sint）arctgtdt（3分）
dy －（sint）arctgtdt
所以 ——— ＝ ———————————————— ＝ －tgt （2分）
dx （cost）arctgtdt

5．解：所求直线的方向数为｛1，0，－3｝ （3分）
x－1 y－1 z－2
所求直线方程为 ————＝————＝———— （2分）
1 0 －3
__ __
6．解：du＝ex +√y + sinzd（x＋√y ＋sinx） （3分）
__ dy
＝ex + √y + sinz〔（1＋cosx）dx＋ —————〕 （2分）
___
2√y
π asinθ 1 π
7．解：原积分＝∫ sinθdθ ∫ rdr＝ ——a2 ∫ sin3θdθ （3分）
0 0 2 0
π/2 2
＝a2 ∫ sin3θdθ ＝ —— a2 （2分）
0 3
dy dx
8．解：两边同除以（y＋1）2 得 ——————＝—————— （2分）
（1＋y）2 （1＋x）2
dy dx
两边积分得 ∫——————＝∫—————— （1分）
（1＋y）2 （1＋x）2
1 1
亦即所求通解为 ———— － ———— ＝c （2分）
1＋x 1＋y

1 1
9．解：分解，得f（x）＝———— ＋ ———— （1分）
1－x 2＋x
1 1 1
＝———— ＋ —— ————— （1分）
1－x 2 x
1＋——
2
∞ 1 ∞ xn x
＝∑ xn ＋ —— ∑ （－1）n—— （ │x│〈1且│——│〈1 ）（2分）
n=0 2 n=0 2n 2
∞ 1
＝∑ 〔1＋（－1）n ———〕xn （ │x│〈1） （2分）
n=0 2n+1四、应用和证明题（共15分）

du
1．解：设速度为u，则u满足m＝——＝mg－ku （3分）
dt
1
解方程得u＝——（mg－ce-kt/m） （3分）
k
mg
由u│t=0＝0定出c，得u＝——（1－e-kt/m） （2分）
k

__ 1
2．证：令f（x）＝2√x ＋ —— － 3 则f（x）在区间〔1，＋∞〕连续 （2分）
x
1 1
而且当x〉1时，f'（x）＝ —— － —— 〉0 （2分）
__ x2
√x
因此f（x）在〔1，＋∞〕单调增加 （1分）
从而当x〉1时，f（x）〉f（1）＝0 （1分）
___ 1
即当x〉1时，2√x 〉3－ —— （1分）
x