Question

三元均值不等式的成立条件是什么

就比如 三次方根(abc)《 (a+b+c)/3 在什么情况下成立，不要说abc是非负实数，因为这个很显然，希望能具体点，比如abc乘积怎么样之类的。谢谢了

Answer 1

三元均值不等式的成立条件：

1.当a+b+c为定值时,三次方根(abc)有最大值为(a+b+c)/3  (当且仅当a=b=c是取等号)。

2.当abc为定值时,(a+b+c)/3 有最小值为三次方根(abc)。三次方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根（cube root).这就是说，如果x3=a,那么x叫做a的立方根。（注意：3√a中 的指数3不能省略，要写在根号的左上角。）

扩展资料：

常用定理

①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。

②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。

③如果不等式F（x）<G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)<G（x）与不等式H（x）F（x）<H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）<0，那么不等式F（x）<G（x）与不等式H (x)F（x）>H（x）G（x）同解。

④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：

（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则  ，且仅当B=0时取等号。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。

特例

⑴对实数a,b，有  （当且仅当a=b时取“=”号），  （当且仅当a=-b时取“=”号）

⑵对非负实数a,b，有  ，即 

⑶对非负实数a,b，有 

⑷对非负实数a,b，a≥b,有 

⑸对非负实数a,b，有 

⑹对实数a,b，有 

⑺对实数a,b,c，有 

⑻对非负数a,b，有 

⑼对非负数a,b,c，有 

不等式的特殊性质有以下三种：

①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

参考资料：百度百科——均值不等式

Answer 2

三元均值不等式的成立条件：

1.当a+b+c为定值时,三次方根(abc)有最大值为(a+b+c)/3  (当且仅当a=b=c是取等号)。

2.当abc为定值时,(a+b+c)/3 有最小值为三次方根(abc)。

三次方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根（cube root).这就是说，如果x3=a,那么x叫做a的立方根。（注意：3√a中 的指数3不能省略，要写在根号的左上角。）

扩展资料：

均值不等式，又名 平均值不等式、 平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为H n≤G n≤A n≤Q n，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

Answer 3

三元均值不等式的成立条件

1、当a+b+c为定值时,三次方根(abc)有最大值为(a+b+c)/3  (当且仅当a=b=c是取等号)。

2、当abc为定值时,(a+b+c)/3 有最小值为三次方根(abc)。

扩展资料

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。

在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：

参考资料百度百科-均值不等式

Answer 4

三元均值不等式的成立条件：

1.当a+b+c为定值时,三次方根(abc)有最大值为(a+b+c)/3  (当且仅当a=b=c是取等号)。

2.当abc为定值时,(a+b+c)/3 有最小值为三次方根(abc)。

扩展资料：

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：

（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则  ，且仅当B=0时取等号。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。

参考资料：均值不等式_百度百科

Answer 5

三元均值不等式的成立条件
1.当a+b+c为定值时,三次方根(abc)有最大值为(a+b+c)/3 (当且仅当a=b=c是取等号)。
2.当abc为定值时,(a+b+c)/3 有最小值为三次方根(abc)。

三次方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根（cube root).这就是说，如果x3=a,那么x叫做a的立方根。（注意：3√a中 的指数3不能省略，要写在根号的左上角。）