Question

如图，∠ECF=90°，线段AB的端点分别在CE和CF上，BD平分∠CBA，并与∠CAB的外角平分线AG所在的直线交于点D

如图，∠ECF=90°，线段AB的端点分别在CE和CF上，BD平分∠CBA，并与∠CAB的外角平分线AG所在的直线交于点D。
（1）∠D与∠C有怎样的数量关系？（直接写出关系式及大小）
（2）当点A在射线CE上运动（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由。

Answer 1

（1）∠C=2∠D 既：∠D=45度
因为∠CAB=180 - 2∠GAB，∠BAC+∠ABC=90,既180 - 2∠GAB+2∠DBA=90，整理得出∠GAB - ∠DBA = 45度。.
又因为∠D= 180 - ∠DAB - ∠DBA = 180 - （180 - ∠GAB） - ∠DBA = ∠GAB - ∠DBA = 45度。
（2） 当A在射线CE上运动（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立。
因为∠CAB+∠ABC=∠C=90度,不论A在CE上如何运动，只要不与C点重合，这个关系式都是不变的，整理这个式子：∠CAB=180 - 2∠GAB，∠ABC=2∠DBA，得：
180 - 2∠GAB+2∠DBA=90，整理得∠GAB - ∠DBA = 45度，恒定不变。既∠D=45的结论不变，所以∠C=2∠D恒成立。

Answer 2

解：（1）∠C=2∠D 即：∠D=45°，
∵BD平分∠CBA，AG平分∠EAB，
∴∠EAB=2∠GAB，∠ABC=2∠DBA，
∵∠CAB=180°-2∠GAB，∠BAC+∠ABC=90°，即180°-2∠GAB+2∠DBA=90°，
整理得出∠GAB-∠DBA=45°，
∴∠D=∠C=45°；
（2）当A在射线CE上运动（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立，∵∠CAB+∠ABC=∠C=90°，不论A在CE上如何运动，只要不与C点重合，这个关系式都是不变的，
整理这个式子：∠CAB=180°-2∠GAB，∠ABC=2∠DBA，得：180°-2∠GAB+2∠DBA=90°，
整理得∠GAB-∠DBA=45度，恒定不变，即：∠D=45°的结论不变，
∴∠C=2∠D恒成立．

Answer 3

解：（1）∠C=2∠D 即：∠D=45°，
∵BD平分∠CBA，AG平分∠EAB，
∴∠EAB=2∠GAB，∠ABC=2∠DBA，
∵∠CAB=180°-2∠GAB，∠BAC+∠ABC=90°，即180°-2∠GAB+2∠DBA=90°，
整理得出∠GAB-∠DBA=45°，
∴∠D=∠C=45°；
（2）当A在射线CE上运动（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立，∵∠CAB+∠ABC=∠C=90°，不论A在CE上如何运动，只要不与C点重合，这个关系式都是不变的，
整理这个式子：∠CAB=180°-2∠GAB，∠ABC=2∠DBA，得：180°-2∠GAB+2∠DBA=90°，
整理得∠GAB-∠DBA=45度，恒定不变，即：∠D=45°的结论不变，
∴∠C=2∠D恒成立．

Answer 4

1、∠C=2∠D
2、结论成立证明：
设：AC和BD相交点为P
∠EAG=∠1
∠GAB=∠2
∠DAP=∠7
∠PAB=∠5
∠ABP=∠3
∠DBC=∠4
∠BPC=∠6
∠APC=∠8
因为∠APD＝∠6
所以∠D+∠7=∠C+∠4
所以∠D=∠C+∠4-∠7 （1）又 ∠7+∠3+∠5+∠D=180
且∠3=∠4，∠1=∠7=∠2
所以 ∠7+∠4+（180-2∠7）+∠D=180
所以∠4-∠7=-∠D （2）由（1）（2）得∠C=2∠D

Answer 5

呵呵，太难!o(）＾）)o 唉