Question

线性代数 问题如下：判断向量组a1=（1，1，1），a2=（0，2，5），a3=(1,3,6)的现行相关性

要求过程，越详细越好，最好有应用了哪条定理之类的。

Answer 1

这种题目有多种方法

方法1. 定义
设 k1a2+k2a2+k3a3 = 0
代入各个向量得到 k1,k2,k3 的齐次线性方程组
若方程组只有0解, 则向量组线性无关, 否则线性相关
参 paper_pen 的做法 .

方法2. 行列式方法
见 hjr778 的解法
但这种解法有局限性, 向量的个数必须与它们的维数相等才能求行列式

方法3. 初等行变换
其实前2种方法都归结到这里
对矩阵 (a1,a2,a3) 进行初等行变换化成梯形, 则向量组的秩 = 梯矩阵的非零行数
a1,a2,a3 线性相关 <=> r(a1,a2,a3) <3.

具体解答如下:
(a1,a2,a3) =
1 0 1
1 2 3
1 5 6

r2-r1, r3-r1
1 0 1
0 2 2
0 5 5

r3-(5/2)r2
1 0 1
0 2 2
0 0 0

从这里可看出:方法1[求行列式]方法2[解方程组]
都需要将(a1,a2,a3)化成这个形式

所以 r(a1,a2,a3) = 2 <3
所以a1,a2,a3 线性相关.

Answer 2

令 x1*a1+x2*a2+x3*a3=0(向量）
即有 x1 + x3=0,
x1+2x2+3x3=0,
x1+5x2+6x3=0
根据克莱姆法则，该线性方程组只有零解（即说明向量线性无关）的充要条件是系数矩阵行列式非零，所以 计算一下系数矩阵行列式的值即可判断线性相关性。

Answer 3

如果线性相关，则相应的行例式为0，如果行例式不为零则这三个向量线性无关。

| 1 0 1 |
det[a,b,c] = | 1 2 3 | =-0 于是这三个向量线性相关。
| 1 5 6 |