Question

求证一道等边三角形与勾股定理结合的几何证明题

如图，在等边△ABC外一点P使得∠APC=30°.
求证：PB²=PA²+PC².
……我忘说了，没有直角这个条件，我不小心多打了……
还有，这道是初二的题，为什么还要用三角函数呢？

Answer 1

本人证明是采用了作一条辅助线的方法，如果所示，过P点作垂线交于BC延长线于D点。

根据题意可得：PB²=PA²+PC²=AC²+PC²+PC²=AC²+2PC²=BC²+2PC²

由三角形PBD可得：PB²=PD²+BD²，

由三角形PCD可得：PD²=PC²-CD²，

将此式代入上式得：PB²=PC²-CD²+BD²=PC²+（BD+CD)(BD-CD)=PC²+(BC+CD+CD)(BC+CD-CD)=PC²+BC²+2BC*CD

由三角形APC可得BC=AC=（1/√3）PC，

由三角形PCD可得：CD=（√3/2）PC，

将这两项代入上式可得PB²=PC²+BC²+PC²=BC²+2PC²=PA²+PC²

故可以证明。

Answer 2

这种题一般用旋转去做比较方便，那个∠PCA是否为直角与结论没有影响：

Answer 3

如图所示，过P点作垂线交于BC延长线于D点。
根据题意可得：PB²=PA²+PC²=AC²+PC²+PC²=AC²+2PC²=BC²+2PC²
三角形PBD可得：PB²=PD²+BD²，
三角形PCD可得：PD²=PC²-CD²，
代入得：PB²=PC²-CD²+BD²=PC²+（BD+CD)(BD-CD)=PC²+(BC+CD+CD)(BC+CD-CD)=PC²+BC²+2BC*CD
三角形APC可得BC=AC=（1/√3）PC，
三角形PCD可得：CD=（√3/2）PC，
将这两项代入上式可得PB²=PC²+BC²+PC²=BC²+2PC²=PA²+PC²
这样就可以证明了。

或做BO垂直于AC，使AO=AB＝OC，即在线段AC的另一侧再画一个正三角AOC。
以O点为圆心，OA为半径画一个圆，则P点在圆周上，这是因为弧AC对应的角AOC＝60度，因此，弧AC对应的角APC＝30度。OB=√3
设PA＝a，PB＝b，PC＝C，
设角PCO等于x，则角COP＝PAI-2x，在三角形COP中应用余弦定理，可得c^2=1+1-2*1*1*cos(PAI-2x)=2+2cos(2x)
角AOP＝角COP-PAI/3＝PAI*2/3-2x，在三角形AOP中应用余弦定理，可得a^2=1+1-2*1*1*cos(PAI*2/3-2x)=2+cos2x+√3sin2x
角BOP＝角COP-PAI/6＝PAI*5/6-2x，在三角形BOP中应用余弦定理，可得b^2=1+3-2*1*√3*cos(PAI*5/6-2x)=4+3cos2x+√3sin2x
所以b^2=a^2+c^2
也可以

Answer 4

延长PC，做BQ垂直于PC于Q
假设AB=AC=BC＝1
依题义可知，PA=2，PC＝sqrt(3)，BQ＝1/2，CQ＝sqrt(3)/2
PA^2+PC^2=7
PB^2=BQ^2+(CQ+PC)^2=7
得证

追问

忘说了，∠ACP没说等于九十度

追答

图上已经画出是直角了

追问

只是忘说了……
现在我补充一下
图上那个直角是不小心画上的

追答

做BO垂直于AC，使AO=AB＝OC，即在线段AC的另一侧再画一个正三角AOC。
以O点为圆心，OA为半径画一个圆，则P点在圆周上，这是因为弧AC对应的角AOC＝60度，因此，弧AC对应的角APC＝30度。OB=√3
设PA＝a，PB＝b，PC＝C，
设角PCO等于x，则角COP＝PAI-2x，在三角形COP中应用余弦定理，可得c^2=1+1-2*1*1*cos(PAI-2x)=2+2cos(2x)
角AOP＝角COP-PAI/3＝PAI*2/3-2x，在三角形AOP中应用余弦定理，可得a^2=1+1-2*1*1*cos(PAI*2/3-2x)=2+cos2x+√3sin2x
角BOP＝角COP-PAI/6＝PAI*5/6-2x，在三角形BOP中应用余弦定理，可得b^2=1+3-2*1*√3*cos(PAI*5/6-2x)=4+3cos2x+√3sin2x
所以b^2=a^2+c^2

Answer 5

PA²+PC²＝AC²+PC²+PC²＝BC²+PC²+PC×PC [注意PC＝√3AC＝√3BC]
＝BC²+PC²+PC×√3BC＝BC²+PC²-2PC×BC×（-√3/2）＝BC²+PC²-2PC×BC×cos∠PCB＝PB²