Question

已知数列｛an｝中a1=6,且an-an-1=(an-1/n)+n+1(n属于N*,n≥2），求an

Answer 1

an=（n+1）（n+2）

追问

有木有过程？

追答

原式整理后得到an=（n+1）（an-1/n +1）
试值：
a2=（2+1）(6/2 +1)=(2+1)(2x3/2 +1)=12=3x4
a3=(3+1)(12/3 +1)=(3+1)(3x4/3 +1)=20=4x5
……
an=（n+1）（n（n+1）/n +1）=(n+1)(n+2)

Answer 2

an-a(n-1)=(a(n-1)/n)+n+1,
所以an=(n+1) a(n-1)/n+n+1,
两边同除以n+1得：
an/(n+1) = a(n-1)/n+1，(n≥2)
所以数列{ an/(n+1)}是等差数列，首项是a1/2=3,公差为1.
∴an/(n+1)=3+(n-1)•1=(n+2),
an=(n+1) (n+2). (n≥2)
经检验，当n=1时也适合。
所以an=(n+1) (n+2). (n∈N*,）