Question

2、如图1，已知双曲线 y1=kx(k＞0)与直线y2=k'x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题： （1）若点

2、如图1，已知双曲线 y1=kx(k＞0)与直线y2=k'x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为 （-4，-2）；当x满足：X＜-4或0＜X＜4时，y1＞y2；
（2）过原点O作另一条直线l，交双曲线 y=kx(k＞0)于P，Q两点，点P在第一象限，如图2所示．
①四边形APBQ一定是 平行四边形；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积；
③设点A、P的横坐标分别为m、n，四边形APBQ可能是矩形吗？若可能，求m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）因为正比例函数与反比例都关于原点成中心对称，所以B点的坐标为B（-4，-2）；
由两个函数都经过点A（4，2），可知双曲线的解析式为y1= ，直线的解析式为y2= x，
双曲线在每一象限y随x的增大而减小，直线y随x的增大而增大，
所以当x＜-4或0＜x＜4时，y1＞y2．
（2）证明：∵正比例函数与反比例函数都关于原点成中心对称，
∴OA=OB，OP=OQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知APBQ一定是平行四边形．
②∵A点的坐标是（3，1）
∴双曲线为y= 3/x
所以P点坐标为（1，3），
过A作x轴的垂线可得直角梯形，再过P做垂线的垂线，
用直角梯形的面积减去直角三角形的面积可得三角形POA的面积为4，再用4×4得四边形APBQ为16．
③当mn=k时，OA=OP，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以四边形APBQ是矩形．

我们也在做这道题哦

Answer 2

（1）（-4，-2） x＜-4或0＜x＜4
（2）①平行四边形
②A（3,1）
y=3/x
P(1,3)
S△AOP=S△MOP+S梯PMNA-S△AON
=S梯PMNA
=1/2（3+1）*2
=4
S△APBQ=4*4=16
③A（m，k/m）P（n，k/n）
OA²=m²+k²/m² OP²=n²+k²/n²
若APBQ为矩形 OA=OP
m²+k²/m²=n²+k²/n²
（m²n²）k²=m²n²（m²-n²）
k²=m²n²
k=mn

Answer 3

（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为 （-4，-2）；当x满足：X＜-4或0＜X＜4时，y1＞y2；
（2）过原点O作另一条直线l，交双曲线 y=kx(k＞0)于P，Q两点，点P在第一象限，如图2所示．
①四边形APBQ一定是 平行四边形；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积；
③设点A、P的横坐标分别为m、n，四边形APBQ可能是矩形吗？若可能，求m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．
考点：规律型：图形的变化类．专题：数形结合．分析：数与形相结和，理解正比例函数与反比例函数的性质，并对函数的性质灵活运用，同时也训练了平形四边形和矩行的相关性质．点A与点B关于原点对称，所以B点坐标为（-4，-2），在第三象限当x＜-4时y1＞y2，在第一象限当0＜x＜4时y1＞y2．由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明APBQ是平行四边形．平行四边形的对角线把它分成四个面积相等的三角形，所以只要求出△AOP的面积，再将其乘以4就可以得到APBQ的面积．根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当mn=k时OP=OA，此时APBQ是矩形．解答：解：（1）因为正比例函数与反比例都关于原点成中心对称，所以B点的坐标为B（-4，-2）；
由两个函数都经过点A（4，2），可知双曲线的解析式为y1= 8x，直线的解析式为y2= 12x，
双曲线在每一象限y随x的增大而减小，直线y随x的增大而增大，
所以当x＜-4或0＜x＜4时，y1＞y2．
（2）证明：∵正比例函数与反比例函数都关于原点成中心对称，
∴OA=OB，OP=OQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知APBQ一定是平行四边形．
②∵A点的坐标是（3，1）
∴双曲线为y= 3x，
所以P点坐标为（1，3），
过A作x轴的垂线可得直角梯形，再过P做垂线的垂线，
用直角梯形的面积减去直角三角形的面积可得三角形POA的面积为4，再用4×4得四边形APBQ为16．
③当mn=k时，OA=OP，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以四边形APBQ是矩形．
点评：此题考点清晰，难度不大，但数形结合能比较综合的考查学生的分析能力．

Answer 4

（1）（－4，－2） （－m，－k′m）或（－m，－k/m ）

（2）①由勾股定理OA= √[m^2+(k′m)^2]，
OB=√[(-m)^2+(-k′m)^2] = √[m^2+(k′m)^2]
∴OA=OB．
同理可得OP=OQ，
∴四边形APBQ一定是平行四边形．

②四边形APBQ可能是矩形，
m，n应满足的条件是mn=k．
四边形APBQ不可能是正方形．
理由：点A，P不可能达到坐标轴，即∠POA≠90°．

Answer 5

B(-4,-2)
k(1/x-x)=k(1-x^2)/x>0
-1<x<0或者x>1
当x满足：--1<x<0或者x>1时，y1>y2；
四边形APBQ一定是平行四边形
k=3
P（1,3）
B（-3，-1）
Q (-1,-3)
四边形APBQ的面积=4*4*2=32
四边形APBQ可能是矩形
A(m,k/m)
P(n,k/n)
B(-n,-k/n)
Q(-m,-k/m)
PQ^2=AP^2+AQ^2
(2n)^2+(2k/n)^2=(n-m)^2+[k*(m-n)/mn]^2+(m+n)^2+[k(m+n)/mn]^2
k^2*(m^2-n^2)=m^4*n^2

Answer 6

（1）B点的坐标为B（-4，-2）；
由两个函数都经过点A（4，2），可知双曲线的解析式为y1= ，直线的解析式为y2= x，
双曲线在每一象限y随x的增大而减小，直线y随x的增大而增大，
所以当x＜-4或0＜x＜4时，y1＞y2．
（2）证明：∵正比例函数与反比例函数都关于原点成中心对称，
∴OA=OB，OP=OQ，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知APBQ一定是平行四边形．
②∵A点的坐标是（3，1）
∴双曲线为y= 3/x
P点坐标为（1，3），
过A作x轴的垂线可得直角梯形，再过P做垂线的垂线，
用直角梯形的面积减去直角三角形的面积可得三角形POA的面积为4，再用4×4得四边形APBQ为16．
③当mn=k时，OA=OP，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以四边形APBQ是矩形．