Question

一元二次同余方程求解 （简单的数论问题） x^2+3x+1≡0(mod 7) x^2+3x+1≡0(mod 35)

x^2+3x+1≡0(mod 7)
x^2+3x+1≡0(mod 35)
解x

Answer 1

x^2+3x+1≡0(mod 7)
解：等效于
xx-4x+1==0
xx-4x+4==3==(x-2)^2
计算(3/7)=-1，即3不是7的二次剩余。
故原同余式无解。
或者，取y=0,+-(1,2,3)，算得yy==0,1,4,2 mod 7亦即无解。

x^2+3x+1≡0(mod 35)
解：此式等效于
x^2+3x+1≡0(mod 7) (即上一题)
且
x^2+3x+1≡0(mod 5)
上一题无解，从而此题亦无解。

Answer 2

证明同余方程x^2+3x+1≡0(mod 7)无解：
x^2+3x+1≡0(mod 7)，x^2+3x+1-7x≡0(mod 7),(x-2)^2≡3(mod 7),
对所有整数n，n≡0,±1,±2,±3(mod 7)，对应n^2≡0,1,4,2(mod 7),
所以方程(x-2)^2≡3(mod 7)无解，从而原方程无解，得证。

Answer 3

5x+1 ≡0(mod 7) 5x+1≡0(mod 35) 0/7=0……0 0/35=0……0
当5x+1=〔35,7〕时x=35 当5x+1=〔35,7〕×2时x=70 当5x+1=〔35,7〕×3时x=105 ……
当5x+1=〔35,7〕×y时x=35y

Answer 4

试用一个未知数表示另一个未知数(借助1试)
列新方程(借助2试)